Question

已知θ为向量与的夹角，||=2，||=1，关于x的一元二次方程x²-||x+•=0有实根．
（Ⅰ）求θ的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数的最值．

Answer 1

解：（I）由题意可得θ∈[0，π]，由||=2，||=1，可得||²=4，=||||cosθ．…（3分）
∵方程x²-|a|x+a•b=0有实根，则有△=||²-4=4（1-2cosθ）≥0，得，所以．…（6分）
（II）∵
=
=…（9分）
又因为，所以，
所以sin（
所以，函数的最大值为，最小值为-1．…（12分）
分析：（I）由方程x²-|a|x+a•b=0有实根，可得△=||²-4=4（1-2cosθ）≥0，得，结合θ∈[0，π]可求
（II）利用二倍角公式、辅助角公式对已知函数化简可得=sin（2），结合θ的范围及正弦函数的性质可求函数的最值
点评：本题以向量的数量积的运算为载体主要考查了三角函数性质的应用，属于基础试题