Question

如图，P-ABCD是正四棱锥，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，其中AB=2，PA=

6

．平面PAD与平面BDD₁B₁所成的锐二面角θ的余弦值为（　　）

• A、

  10

  10

• B、

  5

  5

• C、

  15

  5

• D、

  10

  5

Answer 1

分析：由题设条件以及图形知平面PAD与平面BDD₁B₁的公共边为PD，平面PAD与平面BDD₁B₁所成的锐二面角即二面角A-PD-B，由图形的结构，两平面所成的二面角的余弦值可用三角形PAD的面积与其在面PBD上的投影面积之间的比值来表示，连接AC，BD交于一点O，可证得A0⊥面PBD，即三角形PAD在面PBD上的投影是三角形POD，求出两个三角形的面积计算其比值即可得到所求二面角的余弦值．

解答：解：由题意如图，平面PAD与平面BDD₁B₁的公共边为PD，平面PAD与平面BDD₁B₁所成的锐二面角即二面角A-PD-B，连接AC，BD交于一点O，由于P-ABCD是正四棱锥，故有AO⊥面PBD，
∴cosθ=

S△pOD

S△PAD

∵P-ABCD是正四棱锥，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，其中AB=2，PA=

6

．
∴BD=2

2

，故PO=

PD2-OD2

=

6-2

=2可求得三角形POD的面积是

1

2

×2×

2

=

2

在三角形PAD中可求得其面积是

5

故cosθ=

S△pOD

S△PAD

=

2

5

=

10

5

故选D

点评：本题考查二面角的平面角及求法，由于本题中几何图形的结构特征，采取了用投影面法求面面角的余弦，可以看到此法优点是不用作二面角的平面角，少了证明的过程，在求二面角时注意使用这一方法，其公式是锐二面角的余弦值等于投影面的面积比上原面积．本题考查了转化变形的能力以及推理运算的能力．