Question

甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是

3

5

，乙只能答对其中的5道题，规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，得分低于o分时记为0分（即最低为0分），至少得15分才能入选．
（1）求乙得分的分布列和数学期望；
（2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．

Answer 1

考点：互斥事件的概率加法公式,相互独立事件的概率乘法公式,离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（1）确定乙答题所得分数的可能取值，求出相应的概率，即可得到乙得分的分布列和数学期望；
（2）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，求出甲、乙入选的概率，利用对立事件，即可求得结论．

解答： 解：（1）乙答题所得分数为X，则X的可能取值为0，15，30．
P（X=0）=

C 0 5 C 3 5

C 3 10

+

C 1 5 • C 2 5

C 3 10

=

1

2

P（X=15）=

C 2 5 C 1 5

C 3 10

=

5

12

P（X=30）=

C 3 5 C 0 5

C 3 10

=

1

12

乙得分的分布列如下

X	0	15	30
P	1 2	5 12	1 12

EX=0×

1

2

+15×

5

12

+30×

1

12

=

35

4

（2）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A，乙入选为事件B，
则P（A）=

C

2 3

(

3

5

)2•(

2

5

)+

C

3 3

•(

3

5

)3=

54

125

+

27

125

=

81

125

，P（

.

A

）=1-

81

125

=

44

125

由（1）知：P（B）=P（X=15）+P（X=30）=

1

2

，P（

.

B

）=1-

1

2

=

1

2

，
所求概率为P=1-P（

.

AB

）=

103

125

点评：本题考查概率的计算，考查互斥事件的概率，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定变量的取值，计算其概率是关键．