Question

19．求函数y=（log₂$\frac{x}{2}$）（log₂$\frac{x}{4}$）的值域，其中x满足-3≤log${\;}_{\frac{1}{2}}$x≤-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 利用换元法将函数转化为一元二次函数即可得到结论．

解答 解：∵-3≤log${\;}_{\frac{1}{2}}$x≤-$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{1}{2}$≤log₂x≤3，
设log₂x=t，则$\frac{1}{2}$≤t≤3，
∵y=（log₂$\frac{x}{2}$）（log₂$\frac{x}{4}$）=（log₂x-1）（log₂x-2），
∴f（t）=（t-1）（t-2）=t²-3t+2=（t-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
∴f（t）在[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]上单调递减，在（$\frac{3}{2}$，3]上单调递增，
∴f（t）_min=-$\frac{1}{4}$，f（t）_max=f（3）=9-9+2=2，
∴-$\frac{1}{4}$≤f（t）≤2，
∴函数y=（log₂$\frac{x}{2}$）（log₂$\frac{x}{4}$）的值域为[-$\frac{1}{4}$，2]．

点评 本题主要考查函数值域的计算，利用换元法转化为二次函数是解决本题的关键．