Question

面积为S的△ABC的三边a，b，c成等差数列，∠B=60°，b=4，设△ABC外接圆的面积为S′，则S′：S=

4 3

9

π

．

Answer 1

分析：由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，把b的值代入求出a+c的值，利用余弦定理得b²=a²+c²-2accosB，将b和cosB的值代入，并利用完全平方公式变形后，把a+c的值代入求出ac的值，再由sinB的值，利用三角形的面积公式求出三角形ABC的面积S，由b和sinB的值，利用正弦定理求出三角形外接圆的半径，利用圆的面积公式求出三角形ABC外接圆的面积S′，进而求出两面积之比．

解答：解：∵△ABC的三边a，b，c成等差数列，
∴2b=a+c，
将b=4代入得：a+c=8，
又cosB=

1

2

，
根据余弦定理b²=a²+c²-2accosB得：
16=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=64-3ac，
∴ac=16，又∠B=60°，
∴△ABC的面积S=

1

2

acsinB=4

3

，
由正弦定理

b

sinB

=2R（R为三角形外接圆半径）得：R=

b

2sinB

=

4 3

3

，
∴△ABC外接圆的面积为S′=πR²=

16π

3

，
则S′：S=

16

3

π：4

3

=

4 3

9

π．
故答案为：

4 3

9

π

点评：此题考查了等差数列的性质，三角形的面积公式，正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．