Question

2．已知函数f（x）满足条件f（$\frac{x-t+1}{2}$）=2log₂（x+1），其中t是实常数．
（1）求f（x）；
（2）当x∈[0，1]时，f（x）≥log₂（x+1）恒成立，求t的取值范围；
（3）当t=4时，令g（x）=f（x）-log₂（x+1），x∈[-$\frac{1}{2}$，1]．求函数g（x）的最大值和最小值及其相应的x值．

Answer 1

分析 （1）令$\frac{x-t+1}{2}$=m，则x=2m-1+t，代入原式，即可得到f（x）的解析式；
（2）由题意可得2x+t≥$\sqrt{x+1}$对x∈[0，1]恒成立，即t≥$\sqrt{x+1}$-2x的最大值．运用换元和二次函数的最值求法，即可得到所求范围；
（3）运用对数的运算性质和换元法，以及对号函数的单调性，即可得到最值．

解答 解：（1）令$\frac{x-t+1}{2}$=m，则x=2m-1+t，
即有f（m）=2log₂（2m+t），
即为f（x）=2log₂（2x+t）；
（2）当x∈[0，1]时，f（x）≥log₂（x+1）恒成立，
即为2x+t≥$\sqrt{x+1}$对x∈[0，1]恒成立，
即t≥$\sqrt{x+1}$-2x的最大值．
可令n=$\sqrt{x+1}$（1≤n≤$\sqrt{2}$），
则y=n-2（n²-1）=-2（n-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{17}{8}$，
区间[1，$\sqrt{2}$]在对称轴n=$\frac{1}{4}$的右边，为减区间，
即有n=1，即x=0，取得最大值，且为1，
则有t≥1；
（3）当t=4时，g（x）=f（x）-log₂（x+1）
=2log₂（2x+4）-log₂（x+1）
=log₂$\frac{（2x+4）^{2}}{x+1}$，
由x∈[-$\frac{1}{2}$，1]，可得x+1∈[$\frac{1}{2}$，2]，
可令s=x+1，（s∈[$\frac{1}{2}$，2]），
则有$\frac{（2x+4）^{2}}{x+1}$=$\frac{4{s}^{2}+8s+4}{s}$=4（s+$\frac{1}{s}$+2）
在[$\frac{1}{2}$，1]递减，在（1，2]递增，
则s=1，即x=0，取得最小值且为16，
s=$\frac{1}{2}$或2，即x=-$\frac{1}{2}$或1，取得最大值且为18，
则有当x=0时，g（x）取得最小值4；
当x=-$\frac{1}{2}$或1，取得最大值log₂18．

点评 本题考查函数的最值的求法，考查不等式恒成立问题的解法，同时考查对数函数的单调性的运用，以及运算求解能力，属于中档题．