Question

已知顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线的焦点为F（2，0），直线l过点F，且与抛物线交于A，B两点，
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若直线l的斜率为2，求弦长|AB|；
（3）求证：

1

|AF|

+

1

|BF|

为定值．

Answer 1

分析：（1）由题意可设抛物线的标准方程为y²=2px，（p＞0）．由于焦点为F（2，0），可得

p

2

=2，解得p即可．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由于直线l的斜率为2且过焦点F（2，0），可得直线l的方程为y=2（x-2），与抛物线方程联立可得x²-6x+4=0．利用根与系数的关系和弦长公式即可得出．
（3）利用|AF|=x₁+2，|BF|=x₂+2，及根与系数的关系即可得出．

解答：解：（1）由题意可设抛物线的标准方程为y²=2px，（p＞0）．
∵焦点为F（2，0），∴

p

2

=2，解得p=4．
∴y²=8x．
（2）∵直线l的斜率为2且过焦点F（2，0），
∴直线l的方程为y=2（x-2），即y=2x-4．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

y=2x-4 y2=8x

，化为x²-6x+4=0．
∴x₁+x₂=6，x₁x₂=4．
∴|AB|=

(1+22)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

5(62-4×4)

=10．
（3）证明：∵|AF|=x₁+2，|BF|=x₂+2．
∴

1

|AF|

+

1

|BF|

=

1

x1+2

+

1

x2+2

=

x1+x2+4

x1x2+2(x1+x2)+4

=

6+4

4+2×6+4

=

1

2

，为定值．

点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、焦点弦问题、弦长公式、求定值问题，属于中档题．