Question

设函数f（x）在区间（-a，a）内有定义，若当x∈（-a，a）时，恒有|f（x）|≤x²，则x=0必是f（x）的（　　）

• A、间断点
• B、连续而不可导点
• C、可导点，且f′（0）=0
• D、可导点，且f′（0）≠0

Answer 1

考点：导数的几何意义,变化的快慢与变化率

专题：导数的概念及应用

分析：根据导数的定义即可求解该题．

解答： 解：由题意有：|f（x）|≤x²
令x=0得：
|f（0）|≤0
因此：f（0）=0．
又因为：

lim

x→0

f(x)-f(0)

x

=

lim

x→0

f(x)

x

=

lim

x→0

f(x)

x2

•x，
因为：-|f（x）|≤f（x）≤|f（x）|≤x²
所以：当x≠0时：
-1≤

f(x)

x

≤1；
所以有：

lim

x→0

f(x)-f(0)

x

=

lim

x→0

f(x)

x2

•x=0，
由导数的定义即：
f'（0）=0
因此：f（x）在x=0处可导，因此必连续．
故选：C

点评：本题主要考察函数的可导性以及函数的连续性，属于中档题．