Question

15、用数学归纳法证明：x^2n-1-y^2n-1能被x-y整除．（n∈N^*）

Answer 1

分析：用数学归纳法证明整除问题时分为两个步骤，第一步，先证明当当n=1时，结论显然成立，第二步，先假设假设当n=k时结论成立，利用此假设结合因式分解，证明当n=k+1时，结论也成立即可．

解答：证：①当n=1时，结论显然成立．
②假设当n=k时结论成立，即x^2k-1-y^2k-1能被x-y整除
则当n=k+1时，
x^2k+1-y^2k+1=x²x^2k-1-y²y^2k-1
=x²x^2k-1-x²y^2k-1+x²y^2k-1-y²y^2k-1
=x²（x^2k-1-y^2k-1）+（x²-y²）y^2k-1
∴x^2k+1-y^2k+1也能被x-y整除
故当n=k+1时结论也成立．
由①、②可知，对于任意的n∈N*，x^2n-1-y^2n-1能被x-y整除．

点评：本题主要考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式
设P（n）是关于自然数n的命题，若1°P（n₀）成立（奠基）
2°假设P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（归纳），则P（n）对一切大于等于n₀的自然数n都成立