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已知函f(x)=x2-8lnx,g(x)=-x2+14x
(1)求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若函数f(x)与g(x)在区间(a,a+1)上均为增函数,求a的取值范围;
(3)若方程f(x)=g(x)+m有唯一解,试求实数m的值.
分析:(1)欲求出切线方程,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在x=1处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决.
(2)由已知中函数f(x)=x2-8lnx,g(x)=-x2+14x的解析式,我们易求出他们导函数的解析式,进而求出导函数大于0的区间,构造关于a的不等式,即可得到实数a的取值范围;
(3)若方程f(x)=g(x)+m有唯一解,则函数h(x)=f(x)-g(x)=2x2-8lnx-14x与y=m的图象有且只有一个交点,求出h'(x)后,易求出函数的最值,分析函数的性质后,即可得到满足条件的实数m的值.
解答:解:(1)因为f′(x)=2x-
8
x
,所以切线的斜率k=f′(x)=-6
又f(1)=1,故所求切线方程为y-1=-6(x-1)即y=-6x+7.
(2)f′(x)=2x-
8
x
=
2(x+2)(x-2)
x
(x>0)
当0<x<2时,f'(x)<0,当x>2时,f'(x)>0,
要使f(x)在(a,a+1)上递增,必须a≥2g(x)=-x2+14x=-(x-7)2+49
如使g(x)在(a,a+1)上递增,必须a+1≤7,即a≤6
由上得出,当2≤a≤6时f(x),g(x)在(a,a+1)上均为增函数
(3)方程f(x)=g(x)+m有唯一解 ?
y=m
y=2x2-8lnx-14x
有唯一解
设h(x)=2x2-8lnx-14x
h′(x)=4x-
8
x
-14=
2
x
(2x+1)(x-4)
(x>0)h'(x),h(x)随x变化如下表
x (0,4) 4 (4,+∞)
h'(x) - 0 +
h(x) 极小值-24-16ln2
由于在(0,+∞)上,h(x)只有一个极小值,
∴h(x)的最小值为-24-16ln2,
当m=-24-16ln2时,方程f(x)=g(x)+m有唯一解.
点评:本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性,利用函数研究函数的极值,其中根据已知函数的解析式,求出函数的导函数是解答此类问题的关键.
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