Question

如图所示，AB是⊙O的直径，点C是⊙O圆周上不同于A、B的任意一点，PA⊥平面ABC，点E是线段PB的中点，点M在上，且MO∥AC．

（1）求证：BC⊥平面PAC；

（2）求证：平面EOM∥平面PAC．

Answer 1

考点：

直线与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．

专题：

计算题；空间位置关系与距离．

分析：

（1）由PA⊥平面ABC，证出PA⊥BC，由直径所对的圆周角证出BC⊥AC，再利用线面垂直判定定理，即可证出BC⊥平面PAC．

（2）根据三角形中位线定理证出EO∥PA，从而得到EO∥平面PAC，由MO∥AC证出MO∥平面PAC，再结合面面平行判定定理即可证出平面EOM∥平面PAC．

解答：

解：（1）∵点C是以AB为直径的⊙O圆周上不同于A、B的任意一点，

∴∠ACB=90°，即BC⊥AC．

∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴PA⊥BC．

∵AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，AC∩PA=A，

∴BC⊥平面PAC．

（2）∵点E是线段PB的中点，点O是线段AB的中点，

∴EO∥PA．

∵PA⊂平面PAC，EO⊄平面PAC，∴EO∥平面PAC．

∵MO∥AC，AC⊂平面PAC，MO⊄平面PAC，

∴MO∥平面PAC．

∵EO⊂平面EOM，MO⊂平面EOM，EO∩MO=O，

∴平面EOM∥平面PAC．

点评：

本题给出特殊锥体，求证线面垂直并证明面面平行，着重考查直线与平面垂直的判定、平面与平面平行的判定定理等知识，考查空间想象能力，属于中档题．