Question

如图，F是椭圆的右焦点，以F为圆心的圆过原点O和椭圆的右顶点，设P是椭圆的动点，P到两焦点距离之和等于4
（Ⅰ）求椭圆和圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为x=4，PM⊥l，垂足为M，是否存在点P，使得△FPM为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知可得2a=4，a=2c，由此能求出椭圆的标准方程和圆的标准方程．
（Ⅱ）设P（x，y），则由题设知

x2

4

+

y2

3

=1．由|PF|=

1

2

|PM|，|PF|≠|PM|，知若|PF|=|FM|，则|PF|+|FM|=|PM|这与三角形两边之和大于第三边矛盾，|PF|≠|PM|．若|PM|=|FM|，则（x-4）²=12-

3

4

x²，由此解得存在两点P（

4

7

，

3

7

15

），P（

4

7

，-

3

7

15

）使得△PFM为等腰三角形．

解答：解：（Ⅰ）由已知可得2a=4，a=2c?a=2，c=1，b²=a²-c²=3
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1，圆的标准方程为（x-1）2+y²=1
（Ⅱ）设P（x，y），则M（4，y），F（1，0）
∵P（x，y）在椭圆上∴

x2

4

+

y2

3

=1?y²=

3

4

x2．
|PF|²=（x-1）²+y²=（x-1）²+3-

3

4

x²=

1

4

（x-4）²
|PM|²=|x-4|²，9+y²=12-

3

4

x²
∴|PF|=

1

2

|PM|，|PF|≠|PM|
（1）若|PF|=|FM|则|PF|+|FM|=|PM|这与三角形两边之和大于第三边矛盾
∴|PF|≠|PM|
（2）若|PM|=|FM|，则（x-4）²=12-

3

4

x²，解得x=4或x=

4

7

∵|x|≤2∴x=

4

7

∴y=±

3

7

15

∴P（

4

7

，±

3

7

15

）
综上可得存在两点P（

4

7

，

3

7

15

），P（

4

7

，-

3

7

15

）使得△PFM为等腰三角形．

点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解．