Question

7．已知g（x）=f（x）-cos2x，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）部分图象如图所示．
（1）求f（x）的最小正周期及解析式；
（2）求函数g（x）单调递增区间
（3）求函数g（x）在区间x∈[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由图可得A，可求周期T，利用周期公式可求ω，当x=$\frac{π}{6}$时，f（x）=1，可得 sin（2×$\frac{π}{6}$+φ）=1，结合|φ|＜$\frac{π}{2}$，可求φ，从而可得f（x）的解析式．
（2）利用三角函数恒等变换可求解析式g（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函数g（x）的单调递增区间．
（3）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可求2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，利用正弦函数的图象和性质即可求得函数g（x）在区间x∈[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

解答 （本题满分12分）
解：（1）由图可得A=1，（1分）
$\frac{T}{2}=\frac{2π}{3}-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，所以T=π，
所以$ω=\frac{2π}{π}=2$，（2分）
当x=$\frac{π}{6}$时，f（x）=1，可得 sin（2×$\frac{π}{6}$+φ）=1，
因为|φ|＜$\frac{π}{2}$，所以φ=$\frac{π}{6}$，（3分）
所以f（x）的解析式为：f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），（4分）
（2）因为g（x）=f（x）-cos2x=sin（2x+$\frac{π}{6}$）-cos2x=sin2xcos$\frac{π}{6}$+cos2xsin$\frac{π}{6}$-cos2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$），（6分）
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得：kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
所以函数g（x）的单调递增区间是：[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]k∈Z．（9分）
（3）因为x∈[0，$\frac{π}{2}$]，所以2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，（10分）
当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$时，g（x）有最大值，最大值为1；
当2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$，即x=0时，g（x）有最小值，最小值为-$\frac{1}{2}$．  （12分）．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数图象与性质，三角函数的恒等变换，三角函数的最值的求法，属于基本知识的考查．