Question

已知△ABC中，∠C=

π

2

．设∠CBA=θ，BC=a，它的内接正方形DEFG的一边EF在斜边AB上，D、G分别在AC、BC上．假设△ABC的面积为S，正方形DEFG的面积为T．用a，θ表示△ABC的面积S和正方形DEFG的面积T；
设f(θ)=

T

S

，试求f（θ）的最大值P，并判断此时△ABC的形状．

Answer 1

分析：（1）首先在△ABC中利用边角关系得出：AC=a•tgθ．进一步得到用a，θ表示△ABC的面积S和正方形DEFG的面积即可；
（2）由（1）可得：f(θ)=

T

S

=

a2sin2θ

(1+sinθcosθ)2

•

2

a2tgθ

 =

2sinθ•cosθ

(1+sinθcos)2

令u=

sin2θ

4

+

1

sin2θ

+1，sin2θ∈(0，1]．利用基本不等式求得最大值即可，最后判断此时△ABC的形状．

解答：解：（1）∵在△ABC中，∴∠CBA=θ，BC=a．∴AC=a•tgθ．
∴S=

1

2

•a•atgθ=

a2

2

tgθ，θ∈(0，

π

2

)．…（2分）       设正方形DEFG边长为m，
则 CG=mcosθ，BG=

m

sinθ

，∴BC=mcosθ+

m

sinθ

=a．            …（4分）
∴m=

asinθ

1+sinθ•cosθ

，
∴T=m2=

a2sin2θ

(1+sinθ•cosθ)2

，θ∈(0，

π

2

)．   …（6分）
（2）由（1）可得：f(θ)=

T

S

=

a2sin2θ

(1+sinθcosθ)2

•

2

a2tgθ

 =

2sinθ•cosθ

(1+sinθcos)2

…（9分）

= sin2θ 1 4 sin22θ+sin2θ+1        = 1 sin2θ 4 + 1 sin2θ +1 ，θ∈(0， π 2 )，

令u=

sin2θ

4

+

1

sin2θ

+1，sin2θ∈(0，1]．
∵当

sin2θ

4

=

1

sin2θ

⇒sin2θ=±2∉(0，1]，
∴当sin2θ=1时，u取得最小值，即f（θ）取得最大值．∴f(θ)=

T

S

的最大值为

4

9

．
此时sin2θ=1⇒θ=

π

4

．∴△ABC为等腰直角三角形．             …（12分）

点评：本小题主要考查在实际问题中建立三角函数模型、三角形的形状判断等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．