Question

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A (0，)为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于y = x对称．

    （1）求双曲线C的方程；

    （2）若Q是双曲线线C上的任一点，F₁，F₂为双曲线C的左、右两个焦点，从F₁引∠F₁QF₂的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程；

    （3）设直线y = mx + 1与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线l经过M (–2，0)及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围．

Answer 1

x² – y² = 1 ，x² + y² = 1 (x≠)，(–∞，– 2 –)∪(2，+∞)

解析:

解：设双曲线C的渐近线为y = kx，即kx – y = 0．

∵渐近线与x² + (y – )² = 1相切，∴，∴双曲线C的渐近线为y = ±x，∴设双曲线方程为x² – y² = a²．∵A (0，)关于y = x的对称点为(，0)，∴由题意知，双曲线的一个焦点为(，0)，

∴C = ．∴2a² = 2，a² = 1，∴双曲线C的方程为x² – y² = 1．

（2）若Q在双曲线的右支上，则延长QF₂到T，使|QT| = |QF₁|；若Q在双曲线的左支上，则在QF₂上取一点T，使|QT| = |QF₁|．根据双曲线的定义，|TF₂| = 2．∴T在以F₂ (，0)为圆心，2为半径的圆上，∴点T的轨迹方程是(x –)² + y² = 4 (x≠0)  ①

易知，点N是线段F₁T的中点．

设N (x，y)，T (x₀，y₀)，则代入①得，N点的轨迹方程为

x² + y² = 1 (x≠)

（3）由得 (1 – m²) x² – 2mx – 2 = 0，依题意有

∵AB中点为，∴l的方程为y = ．

令x = 0得  b =    

∵m∈(1，) ∴–2(m – )² + ∈(–2 + ，1)   

∴b的范围是(–∞，– 2 –)∪(2，+∞)．