Question

用坐标法证明：平面内任意一点到矩形的一对对角顶点的距离平方和等于这个点到另一对对角顶点的距离平方和.

Answer 1

证明:如图所示,取坐标轴和矩形边平行建立坐标系,设P(x,y)为任意点,矩形四个顶点为?A(x₁,y₁),C(x₂,y₂),B(x₁,y₂),D(x₂,y₁),则有

|PA|²+|PC|²=(x₁-x)²+(y₁-y)²+(x₂-x)²+(y₂-y)²,

|PB|²+|PD|²=(x₁-x)²+(y₂-y)²+(x₂-x)²+(y₁-y)².

∴|PA|²+|PC|²=|PB|²+|PD|².

启示:在上述证明中,若选取矩形的邻边AB、BC所在直线分别为y轴和x轴,那么矩形的四个顶点坐标为A(0,y₁),B(0,0),C(x₁,0),D(x₁,y₁),这样数据更简单,运算更简便了.因此用坐标法解题,坐标系选取得适当,可以简化运算过程.