Question

（04年全国卷Ⅱ）(12分)

给定抛物线C：y²＝4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点．

(Ⅰ)设l的斜率为1，求与夹角的大小；

(Ⅱ)设＝，若∈[4，9]，求l在y轴上截距的变化范围．

Answer 1

解析：（I）C的焦点为F(1,0)，直线l的斜率为1，所以l的方程为y=x-1.

将y=x-1代入方程y²=4x，并整理得x²-6x+1=0.

设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，则有x₁+x₂=6,x₁x₂=1，

=(x₁,y₁)?(x₂,y₂)=x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂-(x₁+x₂)+1=-3.

cos<>=

所以与夹角的大小为-arccos.

(II)由题设知得：(x₂-1,y₂)=λ(1-x₁,-y₁)，即

由 (2)得y₂²=λ²y₁², ∵y₁²=4x₁,y₂²=4x₂,∴x₂=λ²x₁…………………………(3)

联立(1)(3)解得x₂=λ.依题意有λ>0.

∴B(λ,2)或B(λ,-2)，又F(1,0),

得直线l的方程为(λ-1)y=2(x-1)或(λ-1)y=-2(x-1)

当λ∈[4,9]时，l在y轴上的截距为或-

由=，可知在[4，9]上是递减的，

∴，--

直线l在y轴上截距的变化范围是