Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长和侧棱长均为1，∠BAD=∠BAA₁=∠DAA₁=60°，O₁为A₁C₁中点．
（1）求证：AO₁∥平面C₁BD；
（2）求证：平面ACC₁A₁⊥平面ABCD．

Answer 1

证明：（1）连接AC、BD交于O点，连接C₁O．…（2分）
∵C₁C∥A₁A，∴四边形ACC₁A₁为平行四边形．
又O₁，O分别为A₁C₁，AC的中点，∴C₁O∥AO₁．…（4分）
∵C₁O?平面C₁BD，AO₁?平面C₁BD，∴AO₁∥平面C₁BD．…（7分）
（2）连接A₁B，A₁D，A₁O．
∵A₁A=AB=AD，又∠A₁AB=∠A₁AD，△A₁AB≌△A₁AD
∴A₁B=A₁D．∵O为BD中点，∴BD⊥A₁O．…（9分）
又底面ABCD为菱形，∴BD⊥AC…（12分）
∵AC∩A₁O=O．∴BD⊥平面ACC₁A₁，
∵BD?平面ABCD∴平面ACC₁A₁⊥平面ABCD．…（14分）
分析：（1）要证线面平行，只需证此直线平行于平面内的任一条直线即可；
（2）要证平面ACC₁A₁⊥平面ABCD，只需证平面ABCD内的一条直线BD与面ACC₁A₁的两条相交直线垂直即可．
点评：本题考查的知识点是线面平行与面面垂直，常用的处理方法是用它们的判定定理，此类题目为立体几何中的常考必考题，一定要切实掌握好．