Question

如图，已知E，F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点，EF与AC交于点O，PA、NC都垂直于平面ABCD，且PA=AB=4，NC=2，M是线段PA上一动点．
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面NEF；
（Ⅱ）若PC∥平面MEF，试求PM：MA的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连结BD，通过证明EF⊥平面PAC，然后证明平面PAC⊥平面NEF；
（Ⅱ）法一：利用直线与平面平行，通过相似比直接推出PM：MA的值．
法二：建立如图所示的直角坐标系，推出点M为线段PA上靠近P的四等分点，得到结果．

解答：解：（Ⅰ）连结BD，
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD，
又∵BD⊥AC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，
又∵E，F分别是BC、CD的中点，∴EF∥BD，
∴EF⊥平面PAC，又EF?平面NEF，∴平面PAC⊥平面NEF；
（Ⅱ）法1：连结OM，∵PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF=OM，∴PC∥OM，
∴

PM

PA

=

OC

AC

=

1

4

，故PM：MA=1：3
法2：建立如图所示的直角坐标系，则P（0，0，4），C（4，4，0），E（4，2，0），F（2，4，0），
∴

PC

=(4，4，-4)，

EF

=(-2，2，0)，
设点M的坐标为（0，0，m），平面MEF的法向量为

n

=(x，y，z)，则

ME

=(4，2，-m)，
所以

n • ME =0 n • EF =0

，即

4x+2y-mz=0 -2x+2y=0

，
令x=1，则y=1，z=

6

m

，故

n

=(1，1，

6

m

)，
∵PC∥平面MEF，∴

PC

•

n

=0，即4+4-

24

m

=0，解得m=3，
故AM=3，即点M为线段PA上靠近P的四等分点；
故PM：MA=1：3

点评：本题考查平面与平面的垂直，直线与平面平行的性质定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．