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已知平面内三点A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),O为坐标原点.
(1)若
AC
BC
=-1
,求sin(α+
π
4
)
的值.
(4)若|
OA
+
OC
|=
13
,且α∈(0,π),求
OB
OC
的夹角.
分析:(1)由已知中A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),我们易求出向量
AC
BC
的坐标,根据
AC
BC
=-1
,利用同角三角函数关系式及辅助角公式,易求出sin(α+
π
4
)
的值.
(2)由|
OA
+
OC
|=
13
,代入向量模的计算公式,可以求出cosα,sinα,进而求出C点坐标,代入向量夹角公式,即可得到答案.
解答:解:(1)∵
AC
=(cosα-3,sinα),
BC
=(cosα,sinα-3)

AC
BC
=(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1
…(3分)
得cos2α+sin2α-3(cosα+sinα)=-1
cosα+sinα=
2
3
,…(5分)
sin(α+
π
4
)=
2
3
…(7分)
(2)∵|
OA
+
OC
|=
13
.∴(3+cosα)2+sin2α=13,
cosα=
1
2

∵α∈(0,π),∴α=
π
3
,sinα=
3
2
,…(9分)
C(
1
2
3
2
)
,∴
OB
OC
=
3
3
2
…(11分)
OB
OC
的夹角为θ
,则cosθ=
OB
OC
|
OB
||
OC
|
=
3
3
2
3
=
3
2

θ∈(0,π)∴θ=
π
6
即为所求.…(14分)
点评:本题考查的知识点是两角和与差的正弦函数,数量积表示两个向量的夹角,其中(1)的关键是根据向量数量积公式,得到关于α 的三角方程,(2)的关键是求出cosα,sinα.
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(1)若,求的值.
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(1)若,求的值.
(4)若的夹角.

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