Question

（2009•红桥区一模）已知点M（1+cos2x，1），N（1，

3

sin2x）（x∈R），其中O为坐标原点．若f（x）=

OM

•

ON

（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，求函数f（x）的最值，并求出取得最值时的x的取值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用数量积以及两角和的正弦函数化简函数的表达式，利用正弦函数的单调性f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）通过x∈[-

π

6

，

π

3

]，求出相位的范围，利用正弦函数的值域直接求函数f（x）的最值，并求出取得最值时的x的取值即可．

解答：（本小题满分12分）
解（I）

OM

=(1+cos2x，1)，

ON

=(1，

3

sin2x)

∴f(x)= OM • ON =1+cos2x+ 3 sin2x =2sin(2x+ π 6 )+1 由2kπ- π 2 ≤2x+ π 6 ≤2kπ+ π 2 ， ∴kπ- π 3 ≤x≤kπ+ π 6 (k∈z)

∴f（x）的单调递增区间[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

] k∈Z
（Ⅱ）由x∈[-

π

6

，

π

3

]，得-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5

6

π，

∴- 1 2 ≤sin(2x+ π 6 )≤1 ∴0≤f(x)≤3

∴函数f（x）的最大值为3，此时x=

π

6

．
函数f（x）的最小值为0，此时x=-

π

6

．

点评：本题考查数量积的应用，两角和与差的三角函数以及三角函数的单调性函数的最值的求法，考查计算能力．