Question

已知{a_n}是单调递增的等差数列，首项a₁=3，前n项和为S_n；数列{b_n}是等比数列，首项b₁=1，且a₂b₂=12，S₃+b₂=20．
（1）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）令cn=Sncos(

an

3

π)(n∈N+)，求{c_n}的前20项和T₂₀．

Answer 1

分析：（1）根据题意，设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，由已知条件a₂b₂=12，S₃+b₂=20，可得关于d、q的方程组，求解可得d、q的值，结合等比等差数列的通项公式，可得答案；
（2）将{a_n}的通项公式代入cn=Sncos(

an

3

π)(n∈N+)，讨论n的奇偶，再根据等差数列的求和公式解之即可．

解答：解：（1）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，
则a₂b₂=（3+d）q=12，①
∵S₃+b₂=3a₂+b₂=3（3+d）+q=9+3d+q=20，
∴3d+q=11，变形可得q=11-3d，②
代入①可得：（3+d）（11-d）=33+2d-3d²=12，
即3d²-2d-21=0，则（3d+7）（d-3）=0，
又由{a_n}是单调递增的等差数列，有d＞0，则d=3，
∴q=11-3d=2，
∴a_n=3+（n-1）×3=3n，b_n=2^n-1，
（2）cn=Sncosnπ=

Sn n是偶 -Sn， n是奇

，

T20=c1+c2+c3+…+c20=-S 1+S2-S 3+S4-…-S19+S20 =a2+a4+a6+…+a20=6+12+18+…+60=330

点评：本题综合考查等比、等差数列，涉及数列的求和，解题的关键在于分析发现S_n与c_n的关系，转化来求出答案，注意要分n为奇数与偶数2种情况进行讨论．属于中档题．