Question

8．某节假日期间，甲、乙、丙、丁四位同学决定到黄山、华山两个风景区中的一个去旅游，四人约定通过抛掷硬币的方式决定自己去黄山还是华山，每人每次抛掷2枚硬币，如果2枚硬币都是正面向上则去黄山，否则去华山．记去黄山的人数为X，华山的人数为Y．
（I）求这四人中去黄山的人数大于去华山的人数的概率；
（Ⅱ）求随机变量Z=|X-Y|的数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知求出每个人去黄山的概率和去华山的概率，从而得到记去黄山的人数X～B（4，$\frac{1}{4}$），由此能求出这四人中去黄山的人数大于去华山的人数的概率．
（Ⅱ）由已知得X的取值可能为0，1，2，3，4，对应的Z的取值分别为4，2，0，2，4，即随机变量Z的可能取值为0，2，4，P（Z=0）=P（X=2），P（Z=2）=P（X=1）+P（X=3），P（Z=4）=P（X=0）+P（X=4），由此能求出随机变量Z=|X-Y|的数学期望．

解答 解：（Ⅰ）由题意知每个人去黄山的概率p=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，去华山的概率q=1-p=$\frac{3}{4}$，
记去黄山的人数为X，则X～B（4，$\frac{1}{4}$），
∴这四人中去黄山的人数大于去华山的人数的概率：
P=P（X=3）+P（X=4）
=${C}_{4}^{3}（\frac{1}{4}）^{3}（\frac{3}{4}）+{C}_{4}^{4}（\frac{1}{4}）^{4}$
=$\frac{13}{256}$．
（Ⅱ）由已知得X的取值可能为0，1，2，3，4，对应的Z的取值分别为4，2，0，2，4，
即随机变量Z的可能取值为0，2，4，
P（Z=0）=P（X=2）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{4}）^{2}（\frac{3}{4}）^{2}$=$\frac{54}{256}$，
P（Z=2）=P（X=1）+P（X=3）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{4}）（\frac{3}{4}）^{3}$+${C}_{4}^{3}（\frac{1}{4}）^{3}（\frac{3}{4}）$=$\frac{120}{256}$，
P（Z=4）=P（X=0）+P（X=4）=${C}_{4}^{0}（\frac{3}{4}）^{4}+{C}_{4}^{4}（\frac{1}{4}）^{4}$=$\frac{82}{256}$，
∴随机变量Z=|X-Y|的数学期望：
EZ=$0×\frac{54}{256}+2×\frac{120}{256}+4×\frac{82}{256}$=$\frac{71}{32}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．