Question

14．两颗相距足够远的行星a、b，半径均为R₀，两行星各自周围卫星的公转速度的二次方v²与公转半径的倒数$\frac{1}{r}$的关系图象如图所示，则关于两颗行星及它们的卫星的描述，正确的是（　　）

• A． 行星a的质量较大
• B． 行星a的第一宇宙速度大
• C． 取相同公转半径，行星a的卫星向心加速度较大
• D． 取相同公转速度，行星a的卫星周期较小

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力得出线速度平方与轨道半径的倒数的关系式，结合图线斜率比较行星的质量．通过万有引力提供向心力得出第一宇宙速度，通过行星的质量大小比较第一宇宙速度．根据万有引力提供向心力得出加速度的表达式，通过公转半径和行星的质量，比较卫星的向心加速度大小．根据万有引力提供向心力得出线速度与轨道半径的关系式，通过公转速度相等，行星质量的大小关系得出卫星的轨道半径大小，从而结合周期和线速度的关系比较卫星的周期大小．

解答 解：A、卫星受到的万有引力提供向心力，得：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$得，${v}^{2}=\frac{GM}{r}$，可知v²-$\frac{1}{r}$图线的斜率表示GM，a的斜率大，则行星a的质量较大，故A正确．
B、根据$G\frac{Mm}{{{R}_{0}}^{2}}=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{R}_{0}}$得，第一宇宙速度${v}_{1}=\sqrt{\frac{GM}{{R}_{0}}}$，因为行星a的质量较大，则行星a的第一宇宙速度较大，故B正确．
C、根据$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=ma$得，a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，取相同的公转半径，由于行星a的质量较大，则行星a的卫星向心加速度较大，故C正确．
D、根据$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$得，v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，取相同的公转速度，由于行星a的质量较大，可知行星a的卫星轨道半径较大，根据T=$\frac{2πr}{v}$知，行星a的卫星周期较大，故D错误．
故选：ABC

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，知道线速度、加速度、周期等物理量与中心天体质量和轨道半径有关．