Question

4．一辆小轿车与一辆摩托车在平直公路上行驶，从某时刻开始用速度传感器测量两车的瞬时速度，所得数据如下表所示，已知第一次测量时（t=0）摩托车在小轿车的正前方50m，小轿车的加速和减速过程均为匀变速直线运动，则

经过的时间（s）	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	…．
小轿车的瞬时速率（m/s）	0	2.0	7.0	10.0	10.0	9.0	6.5	4.0	1.5	0	0	…．．
摩托车的瞬时速率（m/s）	5.0	5.0	5.0	5.0	5.0	5.0	5.0	5.0	5.0	5，0	5.0	…

（1）小轿车在整个过程中的位移为多少？
（2）小轿车能否追上摩托车？如果能，何时追上？

Answer 1

分析 （1）结合表格中的数据，求出轿车的加速度，然后判断出轿车开始运动时刻、加速的时间、以及减速的时间与开始减速的时刻，最后由运动学的公式即可求出位移；
（2）求出小轿车在速度减小到5m/s前的位移，与摩托车的位移比较即可．

解答 解：（1）由于小轿车开始时做匀加速直线运动，所以在表格的数据中，5s-10s内一定是匀加速，30s-40s内做匀减速，最大速度是10m/s；则：
加速阶段：${a}_{1}=\frac{△{v}_{1}}{△{t}_{1}}=\frac{7.0-2.0}{10-5}=1m/{s}^{2}$
减速阶段：${a}_{2}=\frac{△{v}_{2}}{△{t}_{2}}=\frac{1.5-6.5}{40-30}=-0.5m/{s}^{2}$
t=5s时刻，小轿车运动的时间：${t}_{1}=\frac{{v}_{5}}{{a}_{1}}=\frac{2.0}{1}=2$s
开始运动的时刻是：t₀=5-t₁=5-2=3s
小轿车加速的时间：${t}_{2}=\frac{{v}_{m}}{{a}_{1}}=\frac{10}{1}=10$s
所以小轿车在第13s末开始做匀速直线运动．
到30s末小轿车的速度是6.5m/s，所以到30s末，小轿车已经减速的时间：${t}_{3}=\frac{△{v}_{3}}{{a}_{2}}=\frac{6.5-10}{-0.5}=7$s
所以小轿车开始减速的时刻：t′=30-7=23s
小轿车做匀速运动的时间：t₄=23-13=10s
小轿车在加速阶段的位移：${x}_{1}=\frac{{v}_{m}^{2}-0}{2{a}_{1}}=\frac{100}{2×1}=50$m
匀速阶段的位移：x₂=v_mt₄=10×10=100m
减速阶段的位移：${x}_{3}=\frac{0-{v}_{m}^{2}}{2{a}_{2}}=\frac{-100}{2×（-0.5）}=100$m
所以小轿车的总位移：x=x₁+x₂+x₃=50+100+100=250m
（2）小轿车的速度减小到5m/s的过程中的位移：${x}_{4}=\frac{{v}^{2}-{v}_{m}^{2}}{2{a}_{2}}=\frac{{5}^{2}-1{0}^{2}}{2×（-0.5）}=75$m
小轿车的速度减小到5m/s的时间：${t}_{5}=\frac{v-{v}_{m}}{{a}_{2}}=\frac{5-10}{-0.5}=10$s
所以小轿车的速度减小为5m/s对应的时刻：t″=t′+t₅=23+10=33s
小轿车此时对应的位移：x′=x₁+x₂+x₄=50+100+75=225m
摩托车的位移：x″=v₀t″=5.0×33=165m＜225m-50m=175m
所以小轿车能追上摩托车．
摩托车在小轿车开始减速时刻的位移：x₆=v₀t′=5.0×23=115m
此时小轿车与摩托车之间的距离：△x=x₆+x₀-x₁-x₂=115+50-50-100=15m
设再经过时间t₆小轿车能追上摩托车，则：${v}_{m}{t}_{6}+\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{6}^{2}-{v}_{0}{t}_{6}=△x$
代入数据得：${t}_{6}=\sqrt{160}-10≈2.65$s
所以小轿车追上摩托车的时刻为：t₇=t′+t₆=23+2.65=25.65s
答：（1）小轿车在整个过程中的位移为250m
（2）小轿车能追上摩托车；在25.65s末追上．

点评 本题关键在于小轿车的速度变化的各点时刻与位置的把握，表格类问题不能和图象问题一概而论，情况更多一些，解题要细心．