Question

3．如图所示，质量为m的滑块在水平力作用下静止在倾角为θ在光滑斜面上，斜面的末端B与长为L的水平传送带相接，传送带的运行速度为v₀；若将水平力撤去，滑块滑到传送带右端C时，恰好与传送带速度相同．滑块与传送带间的动摩擦因数为μ．求：
（1）水平作用力F大小；
（2）若滑块冲上传送带时的速度小于传送带速度，求滑块下滑高度；
（3）若滑块冲上传送带速度大于传送带的速度，滑块在传送带上滑行的整个过程中产生的热量．

Answer 1

分析 （1）对滑块受力分析，由共点力的平衡条件可得出水平作用力的大小；
（2）由于滑块滑到B点的速度未知，故应分别对符合条件的两种情况进行讨论，由动能定理可求得滑块下落的高度；
（3）热量与滑块和传送带间的相对位移成正比，即Q=fs，由运动学公式求得传送带通过的位移，即可求得相对位移．

解答 解：（1）滑块受到水平推力F、重力mg和支持力N处于平衡，如图所示
水平推力F=mgtanθ…①
（2）设滑块从高为h处下滑，到达斜面底端速度为v
下滑过程机械能守恒：$\frac{1}{2}m{v}^{2}=mgh$ 
得：$v=\sqrt{2gh}$…②

若滑块冲上传送带时的速度小于传送带速度，则滑块在带上由于受到向右的滑动摩擦力而做匀加速运动；根据动能定理有：
$μmgh=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$…③
所以$h=\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}-μL$…④
（3）若滑块冲上传送带时的速度大于传送带的速度，则滑块由于受到向左的滑动摩擦力而做匀减速运动；根据动能定理：
$μmgL=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$…⑤
设滑块在传送带上运动的时间为t，
则t时间内传送带的位移：s=v₀t…⑦
v₀=v-at…⑧
滑块相对传送带滑动的位移△s=L-s…⑨
相对滑动生成的热量Q=μmg•△s     ⑩
解得：$Q=μmgL-m{v}_{0}•（\sqrt{{v}_{0}^{2}+2μGL}-{v}_{0}）$
答：（1）水平作用力F大小是mgtanθ；
（2）若滑块冲上传送带时的速度小于传送带速度，滑块下滑高度是$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}-μL$；
（3）若滑块冲上传送带速度大于传送带的速度，滑块在传送带上滑行的整个过程中产生的热量是$μmgL-m{v}_{0}•（\sqrt{{v}_{0}^{2}+2μGL}-{v}_{0}）$．

点评 本题考查了动能定理及机械能守恒，在研究传送带问题时，要注意传送带与滑块速度间的关系，从而确定出滑块的运动情况； 注意热量一般由摩擦力乘以相对位移求出．