Question

6．如图所示，有A、B两颗卫星绕地心O做匀速圆周运动，旋转方向相同．A卫星的周期为T₁，B卫星的周期为T₂，在某一时刻两卫星相距最近，已知引力常量为G，则（　　）

• A． 两颗卫星的轨道半径之比T₂²：T₁²
• B． 两卫星经过时间t=$\frac{{{T_1}{T_2}}}{{{T_2}-{T_1}}}$再次相距最近
• C． 若己知两颗卫星相距最近时的距离，可求出地球的质量
• D． 若己知两颗卫星相距最近时的距离，可求出地球表面的重力加速度

Answer 1

分析 A、B两颗卫星绕地心O做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，由此列式得到周期与轨道半径的关系，再求两颗卫星的轨道半径之比．当两卫星转过的角度等于2π时再次相距最近．若己知两颗卫星相距最近时的距离，由万有引力提供向心力，可以求地球的质量，不能求出地球表面的重力加速度．

解答 解：A、A、B两颗卫星绕地心O做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，可得 G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$，可得卫星的周期为：T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$
所以可得A、B两颗卫星的轨道半径之比 $\root{3}{{T}_{1}^{2}}$：$\root{3}{{T}_{2}^{2}}$，故A错误．
B、A多转动一圈时，第二次追上B，A、B转过的角度相差2π，即：$\frac{2π}{{T}_{1}}$t-$\frac{2π}{{T}_{2}}$t=2π，解得：t=$\frac{{{T_1}{T_2}}}{{{T_2}-{T_1}}}$，所以两卫星经过时间t=$\frac{{{T_1}{T_2}}}{{{T_2}-{T_1}}}$再次相距最近．故B正确；
CD、若己知两颗卫星相距最近时的距离，结合两颗卫星的轨道半径之比可以求得两颗卫星的轨道半径，根据万有引力提供向心力得：
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$，可求出地球的质量M，但不知道地球的半径，所以不能求出地球表面的重力加速度，故C正确，D错误；
故选：BC

点评 对于卫星问题，要抓住基本思路：万有引力提供向心力．要根据几何关系得到两颗卫星相距最近和相距最远所满足的角度关系，知道相距最近时两卫星转过的角度差为2π，卫星相距最远时，两卫星转过的角度差为π．