Question

（2010?南昌二模）如图所示，在光滑的水平面上，有两个质量都是m的小车A和B，两车间用轻弹簧相连，它们以速度v₀向右匀速运动，有一质量为

m

4

的小球从h高处自由落下，正好被嵌入A车中，在两车继续向前运动的过程中，求：
（1）小球嵌入A车中的瞬间，A车速度多大？
（2）弹簧的弹性势能的最大值是多少？
（3）小车A（包括小球）的速度的最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）质量为

m

4

的小球物体落在A车上，竖直方向物体做减速运动，具有向上和加速度，产生超重现象，竖直方向上物体和车的合外力不为零．水平方向合外力为零，动量守恒，由水平动量守恒求出小球与车粘合在一起后车的速度；
（2）之后A车速减小，弹簧被压缩，当B车与A车速度相等时，弹簧的弹性势能最大，根据动量守恒和机械能守恒求解弹簧获得的最大弹性势能E_P．
（3）两车继续向前运动的过程中，A车做加速运动，当弹簧再次恢复原长时，小车A（包括小球）的速度的最大．根据动量守恒和机械能守恒求解此时A车的速度．

解答：解：（1）小球和A作用过程中动量守恒，设作用结束时速度为v_A，则
mv₀=（m+

m

4

）v_A     
代入数据得：vA=

4

5

v0=0.8v0     
（2）两车继续向前运动的过程中，A、B小车和小球组成的系统动量守恒、机械能守恒，且A、B同速时弹性势能最大．
设此时速度为v，则
mv₀+（m+

m

4

） v_A=（m+m+

m

4

）v       
代入数据得：v=

8

9

v₀       
弹性势能EP=

1

2

m

v

2 0

+

1

2

(m+

m

4

)

v

2 A

-

1

2

(m+m+

m

4

)v2    
解得：EP=

1

90

m

v

2 0

   
（2）两车继续向前运动的过程中，当弹簧再次恢复原长时，小车A（包括小球）的速度的最大．设此时A、B速度分别为v₁和v₂，则
2mv₀=

5m

4

v₁+mv₂

1

2

?

5m

4

v

2 A

+

1

2

m

v

2 0

=

1

2

?

5m

4

v

2 1

+

1

2

m

v

2 2

代入数据解得：v₁=

44

45

v₀
答：（1）小球嵌入A车中的瞬间，A车速度为0.8v₀；
（2）弹簧的弹性势能的最大值是EP=

1

90

m

v

2 0

；
（3）小车A（包括小球）的速度的最大值是

44

45

v0．

点评：粘性物体与A车粘合过程是非弹性碰撞，机械能有损失，不能全过程运用机械能守恒列方程，要分两过程研究．