Question

（22分）质量为m的飞机模型，在水平跑道上由静止匀加速起飞，假定起飞过程中受到的平均阻力恒为飞机所受重力的k倍，发动机牵引力恒为F，离开地面起飞时的速度为v，重力加速度为g。求：

（1）飞机模型的起飞距离（离开地面前的运动距离）
（2）若飞机起飞利用电磁弹射技术，将大大缩短起飞距离。图甲为电磁弹射装置的原理简化示意图，与飞机连接的金属块（图中未画出）可以沿两根相互靠近且平行的导轨无摩擦滑动。使用前先给电容为C的大容量电容器充电，弹射飞机时，电容器释放储存电能所产生的强大电流从一根导轨流入，经过金属块，再从另一根导轨流出；导轨中的强大电流形成的磁场使金属块受磁场力而加速，从而推动飞机起飞。
①在图乙中画出电源向电容器充电过程中电容器两极板间电压u与极板上所带电荷量q的图象，在此基础上求电容器充电电压为U₀时储存的电能；
②当电容器充电电压为U_m时弹射上述飞机模型，在电磁弹射装置与飞机发动机同时工作的情况下，可使起飞距离缩短为x。若金属块推动飞机所做的功与电容器释放电能的比值为η，飞机发动的牵引力F及受到的平均阻力不变。求完成此次弹射后电容器剩余的电能。

Answer 1

（1）（2）①图线见解析；；②-(mv²+2kmgx-2Fx)

试题分析：（1）平均阻力为f=kmg，依据牛顿第二定律和运动学规律有F-f="ma" ；a=
设飞机的起飞距离为s，依据运动学公式：v²＝2as        

解得s=    
（2）①见答图   
依据图象可得电容器储存电能的规律： E =  
由于q=CU       
则电容器充电电压为U₀时，电容器储存电能E₀ == 
②电容器电压为U_m时，电容器储存电能 E_m = 
设电容器释放的电能为E'，由动能定理有：  ηE'+Fx-kmgx=mv²-0    
解得E'=(mv²+2kmgx-2Fx)
电容器剩余的电能E_剩=E_m- E'  解得E_剩=-(mv²+2kmgx-2Fx)