Question

如图所示为我国“嫦娥一号卫星”从发射到进入月球工作轨道的过程示意图．在发射过程中，经过一系列的加速和变轨，卫星沿绕地球“48小时轨道”在抵达近地点P时，主发动机启动，“嫦娥一号卫星”的速度在很短时间内由v₁提高到v₂，进入“地月转移轨道”，开始了从地球向月球的飞越．“嫦娥一号卫星”在“地月转移轨道”上经过114小时飞行到达近月点Q时，需要及时制动，使其成为月球卫星．之后，又在绕月球轨道上的近月点Q经过两次制动，最终进入绕月球的圆形工作轨道I．已知“嫦娥一号卫星”质量为m₀，在绕月球的圆形工作轨道I上运动的周期为T，月球的半径r_月，月球的质量为m_月，万有引力恒量为G．
（1）求卫星从“48小时轨道”的近地点P进入“地月转移轨道”过程中主发动机对“嫦娥一号卫星”做的功（不计地球引力做功和卫星质量变化）；
（2）求“嫦娥一号卫星”在绕月球圆形工作轨道?运动时距月球表面的高度；
（3）理论证明，质量为m的物体由距月球无限远处无初速释放，它在月球引力的作用下运动至距月球中心为r处的过程中，月球引力对物体所做的功可表示为W=Gm_月m/r．为使“嫦娥一号卫星”在近月点Q进行第一次制动后能成为月球的卫星，且与月球表面的距离不小于圆形工作轨道?的高度，最终进入圆形工作轨道，其第一次制动后的速度大小应满足什么条件？

Answer 1

分析：（1）根据动能定理，主发动机在嫦娥一号卫星进入地月转移轨道过程中对卫星做的功W=

1

2

m0v22-

1

2

m0v12
（2）设“嫦娥一号卫星”在圆轨道?上运动时距月球表面的高度为h，根据万有引力定律和向心力公式有G

m月m0

(r月+h)2

=m0(r月+h)

4π2

T2

，化简即可算出h．
（3）设“嫦娥一号卫星”在近月点进行第一次制动后，在圆轨道?上运动的速度为u₁，则u1=

2π(r月+h)

T

，代入上面h的值，化简可达到u₁．
设“嫦娥一号卫星”在通过近月点脱离月球引力束缚飞离月球的速度为u₂，根据机械能守恒定律

1

2

m0u22-G

m月m0

r月+h

=0，可解得u₂．
所以，“嫦娥一号卫星”在近月点进行第一次制动后的速度u应满足的条件是：u₁＜u＜u₂．

解答：解：（1）根据动能定理，主发动机在嫦娥一号卫星进入地月转移轨道过程中对卫星做的功W=

1

2

m0v22-

1

2

m0v12
（2）设“嫦娥一号卫星”在圆轨道?上运动时距月球表面的高度为h，根据万有引力定律和向心力公式有
G

m月m0

(r月+h)2

=m0(r月+h)

4π2

T2

解得：h=

3	Gm月T2 4π2

-r月
（3）设“嫦娥一号卫星”在近月点进行第一次制动后，在圆轨道?上运动的速度为u₁，则
u1=

2π(r月+h)

T

解得：u1=

3	2πGm月 T

设“嫦娥一号卫星”在通过近月点脱离月球引力束缚飞离月球的速度为u₂，根据机械能守恒定律

1

2

m0u22-G

m月m0

r月+h

=0
解得：u2=

2

3	2πGm月 T

所以，“嫦娥一号卫星”在近月点进行第一次制动后的速度u应满足的条件是：

3	2πGm月 T

＜u＜

2

3	2πGm月 T

答：（1）卫星从“48小时轨道”的近地点P进入“地月转移轨道”过程中主发动机对“嫦娥一号卫星”做的功W=

1

2

m0v22-

1

2

m0v12．
（2）“嫦娥一号卫星”在绕月球圆形工作轨道?运动时距月球表面的高度h=

3	Gm月T2 4π2

-r月．
（3）理论证明，质量为m的物体由距月球无限远处无初速释放，它在月球引力的作用下运动至距月球中心为r处的过程中，月球引力对物体所做的功可表示为W=Gm_月m/r．为使“嫦娥一号卫星”在近月点Q进行第一次制动后能成为月球的卫星，且与月球表面的距离不小于圆形工作轨道?的高度，最终进入圆形工作轨道，其第一次制动后的速度大小应满足：

3	2πGm月 T

＜u＜

2

3	2πGm月 T

．

点评：抓住解题的关键，（1）地球表面万有引力等于重力，（2）万有引力提供卫星绕地球圆周运动的向心力．外力对外星做的功等于卫星轨道转移过程中的动能的变化．