Question

10．如图所示，竖直平面内有一固定光滑的金属导轨，间距为L，导轨上端并联两个阻值均为R的电阻R₁、R₂，质量为m的金属细杆ab与绝缘轻质弹簧相连，弹簧与导轨平面平行，弹簧劲度系数为k，上端固定，整个装置处在垂直于导轨平面向外的匀强磁场中，磁感应强度为B，金属细杆的电阻为r=R，初始时，连接着被压缩的弹簧的金属细杆被锁定，弹簧弹力大小和杆的重力相等，现解除细杆的锁定，使其从静止开始运动，细杆第一次向下运动达最大速度为v₁，此时弹簧处于伸长状态，再减速运动到速度为零后，再沿导轨平面向上运动，然后减速为零，再沿导轨平面向下运动，一直往复运动到静止状态，导轨电阻忽略不计，细杆在运动过程中始终与导轨处置并保持良好的接触，重力加速度为g，求
（1）细杆速度达到v₁瞬间，通过R₁的电流I₁的大小和方向；
（2）杆由开始运动知道最后静止，细杆上产生的焦耳热Q₁；
（3）从开始到杆第一次的速度为v₁过程中，通过杆的电量．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律求解感应电动势，然后根据闭合电路的欧姆定律以及串并联电路特点求解通过R₁的电流，根据右手定则判断电流方向；
（2）根据平衡条件和胡克定律求解杆最后静止时下降高度，由能量守恒定律解得电路的总焦耳热，再由电路的规律解得杆上的焦耳热；
（3）当杆的速度为v₁时，由平衡条件及胡克定律求解杆下降的高度，由法拉第电磁感应定律和闭合电路的欧姆定律联立求解通过杆的电量．

解答 解：（1）杆ab速度为v₁时，产生的感应电动势为：E=BLv₁
电路的总电阻为：${R_总}=\frac{3}{2}R$，
由欧姆定律，杆中的电流为：$I=\frac{E}{R_总}$，
通过R₁的电流为：${I_1}=\frac{I}{2}$，
解得：${I_1}=\frac{{BL{v_1}}}{3R}$，方向从左向右；
（2）杆最后静止时，受到重力和弹簧的拉力，根据平衡条件和胡克定律可知，弹簧最后伸长量与原来压缩量相同，故弹性势能不变，杆下降高度为：
$H=\frac{2mg}{k}$，
由能量守恒定律解得电路的总焦耳热为：
Q=mgH，
由电路的规律解得杆上的焦耳热为：
${Q_1}=\frac{2}{3}Q=\frac{{4{m^2}{g^2}}}{3k}$；
（3）设杆最初时弹簧压缩x₀，由胡克定律有：kx₀=mg，
当杆的速度为v₁时，弹簧伸长为x₁，加速度为0
由平衡条件及胡克定律有：mg-BIL-kx₁=0，
解得：${x_1}=\frac{mg}{k}-\frac{{2{B^2}{L^2}{v_1}}}{3Rk}$，
设从静止到最大速度v₁过程用时间△t，由法拉第电磁感应定律，杆中的平均电动势为：
$\overline E=\frac{△Φ}{△t}=\frac{BL△x}{△t}$，
由欧姆定律，通过杆的平均电流为：
$\overline I=\frac{\overline E}{R_总}$，
通过杆的电量为：
$q=\overline I△t$，
综上解得通过杆的总电量为：
$q=\frac{4BLmg}{3kR}-\frac{{4{B^3}{L^3}{v_1}}}{{9k{R^2}}}$．
答：（1）细杆速度达到v₁瞬间，通过R₁的电流I₁的大小为$\frac{BL{v}_{1}}{3R}$，方向从左向右；
（2）杆由开始运动直到最后静止，细杆上产生的焦耳热$\frac{4{m}^{2}{g}^{2}}{3k}$；
（3）从开始到杆第一次的速度为v₁过程中，通过杆的电量为$\frac{4BLmg}{3kR}-\frac{4{B}^{3}{L}^{3}{v}_{1}}{9k{R}^{2}}$．

点评 对于电磁感应现象中涉及电路问题的分析方法是：确定哪部分相对于电源，根据电路连接情况画出电路图，结合法拉第电磁感应定律和闭合电路的欧姆定律、以及串联电路和并联电路的特点列方程求解．