Question

如图所示（a），在倾角为30⁰的斜面上固定一光滑金属导轨CDEFG，OH∥CD∥FG，∠DEF=60°，CD=DE=EF=FG=AB/2=L，一根质量为m的导体棒AB在电机的牵引下，以恒定的速度v₀沿OH方向从斜面底部开始运动，滑上导轨并到达斜面顶端，AB⊥OH，金属导轨的CD、FG段电阻不计，DEF段与AB棒材料、横截面积均相同，单位长度电阻为r，O是AB棒的中点，整个斜面处在垂直斜面向上磁感应强度为B的匀强磁场中．求：
（1）导体棒在导轨上滑行时电路中的电流的大小；
（2）导体棒运动到DF位置时AB两端的电压；
（3）将导体棒从低端拉到顶端电机对外做的功；
（4）若AB到顶端后，控制电机的功率，使导体棒AB沿斜面向下从静止开始做匀加速直线运动，加速度大小始终为a，一直滑到斜面底端，则此过程中电机提供的牵引力随时间如何变化？（运动过程中AB棒的合力始终沿斜面向下）．

Answer 1

（1）导体棒在导轨上匀速滑行时，设AB棒等效切割长度为l，则
  导体棒在导轨上ε=BLV₀
  回路总电阻为R_总=3Lr
  则感应电流为I=

ε

R总

所以，I=

BV0

3r

（2）AB棒滑到DF处时，AB两端的电压U_BA=U_DA+U_FD+U_BF
  U_DA+U_BF=BLv₀
而U_DF=

2lr

3lr

BLv0=

2

3

BLv0
得U_BA=U_DA+U_FD+U_BF=

5

3

BLv0
（3）导体棒从低端拉到顶端电机做的功W=△E_P+Q₁+Q₂
增加的重力势能：△EP=mg(2L+Lcos300)sin300=

4+ 3

4

mgL
   AB棒在DEF轨道上滑动时产生的热量 Q₁=W_安，
此过程中，电流I不变，所以F_安∝S，故Q1=W安=

0+F安max

2

?

3

2

L=

3 B2L2V0

12r

AB棒在CDEF导轨上滑动时产生的热量，电流不变，电阻不变，所以
 Q2=I2R总t=(

BV0

3r

)2?3Lr?

L

V0

=

B2L2V0

3r

所以，W=

4+ 3

4

(mgL+

B2L2V0

3r

)
（4）分三段讨论牵引力随时间的变化情况
Ⅰ：CDEF导轨上运动牵引力为F₁，则mgsin30°-F_安-F₁=ma，F_安=BIL，I=

BLVt

3Lr

，V_t=at，F1=

1

2

mg-ma-

B2La

3r

t
Ⅱ：DEF导轨上运动牵引力为F₂，则mgsin30°-F_安-F₂=ma，F_安=BIx，I=

BxVt

3xr

=

BV0

3r

，V_t=at，

1

2

at2=L+

3

2

L-

3

2

x，
所以F2=

1

2

mg-ma-

B2a

3r

[

2 3 +3

3

L-

3

3

at2]2t
Ⅲ：OE段运动牵引力F₃，不随时间变化，则
F3=

1

2

mg-ma 
答：
（1）导体棒在导轨上滑行时电路中的电流的大小为

Bv0

3r

；
（2）导体棒运动到DF位置时AB两端的电压为

5

3

BLv0；
（3）将导体棒从低端拉到顶端电机对外做的功是

4+ 3

4

(mgL+

B2L2V0

3r

)；
（4）此过程中电机提供的牵引力随时间变化情况是：
Ⅰ：CDEF导轨上运动牵引力为F1=

1

2

mg-ma-

B2La

3r

t
Ⅱ：DEF导轨上运动牵引力为F2=

1

2

mg-ma-

B2a

3r

[

2 3 +3

3

L-

3

3

at2]2t
Ⅲ：OE段运动牵引力F₃，不随时间变化，F3=

1

2

mg-ma．