Question

如图所示，一个质量为m=0.6kg的小球，以某一初速度v₀从图中P点水平抛出，恰好从光滑圆弧ABC的A点的切线方向进入圆弧轨道（不计空气阻力，进入时无机械能损失），并且恰好能过最高点C．已知圆弧半径R=0.3m，图中θ=60°，（取g=10m/s²）试求：
（1）小球到达C点时的速度
（2）P点至A点的水平距离与竖直高度
（3）若改变抛出点的位置，仍要让小球从A点的切线方向进入圆弧轨道并且还能过C点，问抛出点P至A的高度h与水平距离x的函数关系．

Answer 1

分析：（1）小球恰好经过C点，重力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解；
（2）先根据动能定理列式求解出A点的速度，正交分解后得到初速度和A的竖直分速度，结合平抛运动的分速度公式和分位移公式列式求解；
（3）根据平抛运动速度偏转角正切值是位移偏转角正切的两倍列式求解．

解答：解：（1）小球恰好经过C点，重力提供向心力，故：mg=m

v2

R

，解得：v=

gR

=

10×0.3

=

3

m/s；
（2）从A到C过程，根据动能定理，有：-mg（R+Rcos60°）=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 A

；
解得：vA=

v2+2gR(1+cos60°)

=

3+2×10×0.3×(1+0.5)

=2

3

m/s；
A点的水平分速度为：v_Ax=v_Asin60°=3m/s，
竖直分速度为：v_Ay=v_Acos60°=

3

m/s；
平抛运动时间：t=

vAy

g

=

3

10

s；
水平分位移为：x=v₀t=3×

3

10

=0.3

3

m；
竖直分位移为：y=

1

2

gt2=0.15m；
（3）平抛运动速度偏转角正切值是位移偏转角正切的两倍，故：

h

x

=2tan60°=2

3

故h=2

3

x
答：（1）小球到达C点时的速度为

3

m/s；
（2）P点至A点的水平距离为0.3

3

m，竖直高度为0.15m；
（3）抛出点P至A的高度h与水平距离x的函数关系为h=2

3

x．

点评：本题关键关键分析清楚小球的运动规律，先平抛运动后圆周运动，然后分阶段结合牛顿第二定律、动能定理、平抛运动规律列式求解，较难．