Question

18．如图所示，在y轴右侧平面内存在垂直xoy平面向里的匀强磁场，磁感应强度B=0.5T．坐标原点O有一放射源，可以连续不断地向y轴右侧面内沿各个方向放射出比荷$\frac{q}{m}$=4×10⁶C/kg的正离子，这些正离子的速率分别在0到2×10⁶m/s的范围内，不计离子的重力及它们之间的相互作用．
（1）求离子打到y轴上的范围
（2）若在某时刻沿+x方向放射出各种速率的离子，求经过t=$\frac{5π}{3}$×10^-7s时这些离子所在位置构成的曲线方程．
（3）若从某时刻开始向y轴右侧各个方向放射出各种速率的离子，求经过t=$\frac{5π}{3}$×10^-7s时已进入磁场的离子可能出现的区域面积．

Answer 1

分析 （1）根据离子在磁场中运动的半径公式求出离子的最大半径，从而确定离子打到y轴上的范围．
（2）粒子在磁场中运动的周期与速度无关，根据周期公式求出离子在磁场中运动的周期，求出经过t=$\frac{5π}{3}$×10^-7s时离子运动轨迹对应的圆心角，通过数学极坐标的方法得出这些离子所在位置构成的曲线方程．
（3）作出经过$t=\frac{5π}{3}×{10^{-7}}s$时已进入磁场的离子可能出现的区域，通过几何关系求出已进入磁场的离子可能出现的区域面积．

解答 解：（1）由 $Bqv=m\frac{v_m^2}{R}$
代入数据解得R=1m                            
离子打到y轴上的范围为0-2m                     
（2）离子在磁场中做圆周运动的周期为 $T=\frac{2πm}{qB}=π×{10^{-6}}s$
设这些离子经过$t=\frac{5π}{3}×{10^{-7}}s$时，其轨迹所对应的圆心角为θ，
则$θ=\frac{t}{T}•2π=\frac{π}{3}$

令t时刻离子所在位置坐标为（x，y），则
x=rsinθ；y=r（1-cosθ）  
$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x（0≤x≤\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$．
（3）从某时刻开始向y轴右侧各个方向放射各种速率的离子，求经过$t=\frac{5π}{3}×{10^{-7}}s$t=时已进入磁场的离子可能出现的区域如图阴影部分所示，其面积为$S=\frac{5}{12}π{R^2}+\frac{1}{6}π{R^2}-\frac{1}{2}R×\frac{{\sqrt{3}}}{2}R=（\frac{7}{12}π-\frac{{\sqrt{3}}}{4}）m=1.4m$²
答：（1）离子打到y轴上的范围为0-2m；
（2）这些离子所在位置构成的曲线方程为$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x（0≤x≤\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$．
（3）经过t=$\frac{5π}{3}$×10^-7s时已进入磁场的离子可能出现的区域面积为1.4m²．

点评 本题考查运用数学知识分析和解决物理问题的能力，采用参数方程的方法求解轨迹方程，根据几何知识确定出离子可能出现的区域，难度较大．