Question

13．如图所示，一个$\frac{3}{4}$圆弧形光滑细圆管轨道ABC，放置在竖直平面内，轨道半径为R，在A点与水平面AD相接，地面与圆心O等高，MN是放在水平地面上长为3R、厚度不计的垫子，左端M正好位于A点，将一个质量为m、直径略小于圆管直径的小球从A处管口正上方某处由静止释放，不考虑空气阻力．
（1）若小球从C点射出后恰好能打到垫子的M端，则小球经过C点时对管的作用力大小和方向如何？
（2）若小球从C点射出后恰好能打到垫子的M端，小球的释放点离A点的高度是多少？
（3）欲使小球能通过C点落到垫子上，小球的释放点离A点的最大高度是多少？

Answer 1

分析 （1）小球离开C点做平抛运动，由平抛运动的规律可以求得C点速度的大小．
（2）对小球，通过C点时，由重力和圆管的作用力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求得圆管对小球的作用力，由牛顿第三定律得到小球对圆管的作用力；
（3）小球下降的高度最大时，离开C的水平位移为4R，恰好打到N点，根据平抛运动求得C点的速度．再根据机械能守恒定律求解小球离A点的最大高度．

解答 解：（1）小球离开C点做平抛运动，落到M点时水平位移为R，竖直下落高度为R，根据运动学公式可得：
竖直方向有：R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
水平方向有：R=v_Ct
解得：v_C=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$
以小球为研究对象，通过C点时，由重力和圆管的作用力的合力提供小球的向心力，设圆管对小球的作用力方向向下，大小为F，根据牛顿第二定律得：mg+F=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得：F=-$\frac{1}{2}$mg，说明圆管对小球的作用力方向竖直向上，
根据牛顿第三定律得小球经过C点时对细圆管的作用力大小为：F′=F=$\frac{1}{2}$mg，方向竖直向下．
（2）设小球释放点离A点高度为H；
对开始下落到C点的过程，小球的机械能守恒；可得：
mg（H-R）=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得：H=1.25R；
（3）小球下降的高度最大时，离开C的水平位移为4R，恰好打到N点，设小球通过C点的速度为v．
则由平抛运动规律得：
v=$\frac{4R}{t}$=$\frac{4R}{\sqrt{\frac{2R}{g}}}$=$\sqrt{8gR}$
从开始下落到C点的过程，设小球下降的最大高度为H，根据机械能守恒定律得：
mg（H-R）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：H=5R．
答：（1）小球经过C点时对细圆管的作用力大小为$\frac{1}{2}$mg，方向竖直向下．
（2）小球要落到M点，释放高度离A点为1.25R．
（3）欲使小球能通过C点落到垫子上，小球离A点的最大高度为5R．

点评 本题要分析清楚物体的运动过程，根据物体的不同的运动状态，采用相应的物理规律求解即可．