Question

（2004?江苏）一个质量为M的雪橇静止在水平雪地上，一条质量为m的爱斯基摩狗站在该雪橇  上．狗向雪橇的正后方跳下，随后又追赶并向前跳上雪橇；其后狗又反复地跳下、追赶并跳上雪橇．狗与雪橇始终沿一条直线运动．若狗跳离雪橇时雪橇的速度为V，则此时狗相对于地面的速度为V+u（其中u为狗相对于雪橇的速度，V+u为代数和，若以雪橇运动的方向为正方向，则V为正值，u为负值）．设狗总以速度v追赶和跳上雪橇，雪橇与雪地间的摩擦忽略不计．已知v的大小为5m/s，u的大小为4m/s，M=30kg，m=10kg．
（1）求狗第一次跳上雪橇后两者的共同速度的大小．
（2）求雪橇最终速度的大小和狗最多能跳上雪橇的次数．（供使用但不一定用到的对数值：lg 2=0.301，lg 3=0.477）

Answer 1

分析：（1）要求狗第一次跳上雪橇后的速度需要知道狗第一次跳下雪橇时的速度，在狗第一次跳下之前系统速度为零，在跳下和跳上的过程中系统在水平向动量守恒．
（2）该问难度较大．要求狗最多能跳上的次数，需要知道每次狗跳下时雪橇的速度，故需要知道狗未跳下前狗和雪橇共同的速度，而要求狗未跳下前的速度，需知道狗跳上雪橇前雪橇的速度，即上一次狗跳下后雪橇的速度，所以可以分别求出第一次狗跳下后雪橇的速度，第一次狗跳上后的速度，再求出第二次狗跳下后雪橇的速度，第二次狗跳上后的速度，…，得出通项，从而解出答案．

解答：解：（1）设雪橇运动的方向为正方向．狗第1次跳下雪橇后雪橇相对地面的速度为V₁，则此时狗相对于地面的速度为（V+μ），
由于雪橇和地面之间的摩擦忽略不计，故狗和雪橇组成的系统水平向动量守恒，
根据动量守恒定律，有MV₁+m（V₁+u）=0…①
设狗第1次跳上雪橇时，雪橇与狗的共同速度为V₁’
由于此时狗和雪橇组成的系统水平向动量仍然守恒，则有  MV₁+mv=（M+m）V₁’…②
联立①②两式可得   

V

′ 1

=

-Mmu+(M+m)mv

(M+m)2

…③
将u=-4 m/s，v=5 m/s，M=30 kg，m=10 kg代入③式可得V₁’=2 m/s
（2）解法（一）
设雪橇运动的方向为正方向．狗第（n-1）次跳下雪橇后雪橇的速度为v_n-1，则狗第（n-1）次跳上雪橇后的速度V_n-1’，
满足M V_n-1+mv=（M+m） V_n-1’…④
这样，狗n次跳下雪橇后，雪橇的速度为V_n满足
M V_n+m（V_n+u）=（M+m） V_n-1’…⑤
解得  Vn=(v-u)[1-(

M

M+m

)n-1]-

mu

M+m

(

M

M+m

)n-1
狗追不上雪橇的条件是    v_n≥v
可化为   (

M

M+m

)n-1≤

(M+m)u

Mu-(M+m)v

最后可求得 n≥1+

lg( Mu-(M+m)v (M+m)u )

lg( M+m M )

代入数据，得n≥3.41
故狗最多能跳上雪橇3次，雪橇最终的速度大小为 v₄=5.625 m/s
解法（二）：
设雪橇运动的方向为正方向．狗第i次跳下雪橇后，雪橇的速度为V_i′狗的速度为V_i+u；狗第i次跳上雪橇后，雪橇和狗的共同速度为V_i′，由动量守恒定律可得
第一次跳下雪橇：MV₁+m（V₁+u）=0…④
V1=-

mu

M+m

=1m/s
第一次跳上雪橇：MV₁+mv=（M+m）V₁’…⑤
 

V

′ 1

=

-Mmu+(M+m)mv

(M+m)2

第二次跳下雪橇：（M+m）V₁’=MV₂+m（V₂+u）…⑥
V2=

(M+m) V ′ 1 -mu

M+m

=3m/s
第二次跳上雪橇：MV₂+mv=（M+m）V₂’…⑦

V

′ 2

=

MV2+mv

M+m

第三次跳下雪橇：（M+m）V₂’=MV₃+m（V₃+u）…⑧
V3=

(M+m) V ′ 2 -mu

M+m

=4.5m/s
第三次跳上雪橇：（M+m）V₃=MV₃’+m（V₃’+u）…⑨

V

′ 3

=

(M+m)V3-mu

M+m

第四次跳下雪橇：（M+m）V₃’=MV₄+m（V₄+u）…⑩
V4=

(M+m) V ′ 3 -mu

M+m

=5.625m/s
此时雪橇的速度已大于狗追赶的速度，狗将不可能追上雪橇．
因此，狗最多能跳上雪橇3次．雪橇最终的速度大小为5.625m/s．

点评：本题第二问难度较大，但有一个规律，即狗跳下后雪橇的速度是狗跳上雪橇前雪橇的速度，而狗第二次跳下的初速度是第一次跳上后的末速度，…，第n次跳上前的速度应是第n-1次跳上后的末速度．