Question

（2005?南通一模）一地球探测飞船在地球赤道上空绕地球作圆周运动，用撮像机拍摄地球表面图片．已知地球的密度为ρ，飞船的运行周期为T（小于24h）．
试求撮像机所能桕撮的总面积与地球表面积之比．（万有引力恒量为G，球体积公式V=

4

3

πr3，r为球半径；球冠面积公式为s=2πrh，r为球半径，h为球冠高）

Answer 1

分析：由飞船的运转周期得到其轨道半径，由几何关系确定摄像机的拍摄角，再由几何关系求得拍摄不到的球冠的面积，进而求得拍摄的总面积与地球表面积之比

解答：解：如图所示，设地球半径为r，卫星的轨道半径为R．图中两个阴影部分球冠是不能拍到的区域，其总面积为：Sˊ=2×2πrh    
而h=r（1-cosα）    
cosα=

R2-r2

R

   
根据牛顿第二定律得，卫星绕地球运动有：

GMm

R2

=mR(

2π

T

)2
而M=ρ×

4

3

πr3
地球表面积S=4πr²
解得摄像机所能拍摄的总面积与地球表面积之比为：

S-S′

S

=

1-( 3π ρGT2 ) 2 3

答：能拍摄的总面积与地球表面积之比为

1-( 3π ρGT2 ) 2 3

点评：飞船圆周运动的向心力为万有引力，由周期可得到其运转轨道半径，根据图示的几何关系可得解，但由于立体图形的出现，增加了本题目的难度