Question

16．周末，小明在迎泽公园乘坐了一次惊险刺激的过山车（如图1），意犹未尽．回家后设计了如图2所示的玩具．将一个小滑块（可视为质点）从足够长的光滑斜面AB上的某一高度处由静止滑下，斜面底端紧接着一个光滑的圆轨道，滑出圆轨道后经过粗糙的水平轨道BC，最后落入右侧的槽CDEF中即为胜利．已知圆轨道半径R=0.2m，滑块与轨道BC的滑动摩擦因数μ=0.5，BC的长度L=1.1m，CD的高度H₁=0.45m，DE的长度d=0.6m，FE的高度H₂=0.25m，取g=10m/s²，求：
（1）若要滑块能够通过圆轨道，至少从多高处滑下？
（2）若要取得胜利，滑块释放的高度范围是多少？

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出圆轨道最高点的最小速度，结合动能定理求出滑块下滑的最小高度．
（2）根据动能定理求出滑块刚好到达C点时下落的高度，根据平抛运动的规律求出C点的最大速度，结合动能定理求出最大高度，从而得出高度的范围．求解时要注意滑块要能通过圆轨道的最高点．

解答 解：（1）滑块在最高点重力提供向心力，有：$mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
由A到轨道最高点，根据动能定理得：mg（h₀-2R）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-0，
代入数据解得h₀=0.5m．
（2）设BC足够长，当滑块从h₀处滑下时，在BC段滑行的长度为L₀
mg h₀-μmgL₀=0，
代入数据解得L₀=1m＜1.1m，滑块无法到达C点．
设滑块正好到达C点下滑的高度为h₁：mgh₁-μmgL=0，
代入数据解得h₁=0.55m．
滑块通过C点后做平抛运动，设正好落到F时，在C点的速度为v₀
H₁-H₂=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
d=v₀t，
mgh₂-μmgL=$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-0$，
代入数据解得h₂=1m，
可知滑块释放的高度范围为：0.55m＜h＜1m．
答：（1）若要滑块能够通过圆轨道，至少从0.5m的高处滑下；
（2）若要取得胜利，滑块释放的高度范围是0.55m＜h＜1m．

点评 本题考查了动能定理、牛顿第二定理和圆周运动、平抛运动的综合运用，知道圆周运动向心力的来源以及平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律是解决本题的关键．