Question

12．如图所示，竖直平面内有一粗糙的圆弧圆管轨道，其半径为R=0.5m，内径很小．平台高h=1.9m，一质量m=0.5kg、直径略小于圆管内径的小球，从平台边缘的A处水平射出，恰能沿圆管轨道上P点的切线方向进入圆管内，轨道半径OP与竖直线的夹角为37°．g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．不计空气阻力．求：
（1）小球从平台上的A点射出时的速度v₀ 和P点速度V_P是多大？
（2）小球通过最高点Q时，小球对圆管轨道向下的压力F_Q=3N，求Q点速度V_Q多大？

Answer 1

分析 （1）小球离开平台之后做的是平抛运动，小球恰能沿圆管轨道上P点的切线方向进入圆管内，说明末速度的方向就沿圆管的切线方向；
（2）小球在圆管内做的是圆周运动，根据再最高点的受力的情况，可以求得速度的大小．

解答 解：（1）设小球抛出后做平抛运动至P，竖直位移为：y=h-R（1-cos37°）
由 y=$\frac{1}{2}$gt²知平抛用时为：
t=$\sqrt{\frac{2y}{g}}$=0.6s
小球达P点竖直速度小球达P点竖直速度为：v_y=gt=6m/s
小球恰沿P点切线方向进入圆管，由速度关系：
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$，
小球从平台上的A点射出时的速度为：v₀=$\frac{{v}_{y}}{tan37°}$=8m/s
小球在P点速度为：v_p=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=10m/s$
（2）小球在圆周Q点，由牛顿第二定律：
mg-F_Q=m$\frac{{{v}_{Q}}^{2}}{R}$
解得：${v}_{Q}=\sqrt{2}m/s$
答：（1）小球从平台上的A点射出时的速度v₀ 为8m/s，P点速度V_P是10m/s；
（2）小球通过最高点Q时，小球对圆管轨道向下的压力F_Q=3N，Q点速度V_Q为$\sqrt{2}m/s$．

点评 恰能无碰撞地沿圆弧切线从P点进入光滑竖直圆弧轨道，这是解这道题的关键，理解了这句话就可以求得小球的末速度，本题很好的把平抛运动和圆周运动结合在一起，能够很好的考查学生的能力，是道好题．