Question

11．如图所示，倾角θ=30°、长L=2.7m的斜面，底端与一个光滑的$\frac{1}{4}$圆弧平滑连接，圆弧底端切线水平，圆弧半径R=0.675m．一个质量为m=1kg的小滑块（可视为质点）从斜面某点A沿斜面下滑，经过斜面底端B恰好到达圆弧最高点C，又从圆弧滑回，能上升到斜面上的D点，再由D点由斜面下滑沿圆弧上升，再滑回，这样往复运动，最后停在B点．已知质点与斜面间的动摩擦因数为μ=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，g=10m/s²，假设质点经过斜面与圆弧平滑连接处速率不变．求：
（1）质点第1次经过B点时对圆弧轨道的压力；
（2）质点从A到D的过程中重力势能的变化量；
（3）质点从开始运动到停在B点的过程中在斜面上通过的路程．

Answer 1

分析 （1）质点从C到B过程只有重力做功，根据动能定理列式可以求解B点速度；在B点，重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式可以求解支持力；最后根据牛顿第三定律得到压力．
（2）对A到B过程和B到D过程分别运用动能定理列式，求出第一次返回的位移，最后得到重力势能的改变情况．
（3）整个过程中，摩擦力做功即为机械能的减少量，当最终停在B点时求出机械能的减少量，根据摩擦力做功求出运动路程．

解答 解：（1）设圆弧的半径为R，质点第1次经过B点时的速度为v，则质点从C到B过程，根据动能定理，有：
mgR=$\frac{1}{2}$mmv²
在B点，根据牛顿第二定律，有：
N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
联立两式代入数据解得：N=3mg=3×1×10N=30N
根据牛顿第三定律，质点第1次经过B点对圆弧轨道的压力为30N．
（2）设质点第一次由B点沿斜面上滑的速度为v₁，B点到D点的距离为L₁
A到B过程：mgLsin30°-μmgcos30°L=$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$
B到D过程：-mgL₁sin30°-μmgcos30°L₁=0-$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$
代入数据解得：L₁=0.9m
则质点从A点到D点重力势能的变化为
△E_p=mg（L₁-L）sin30°=-9J
（3）当最终停在B点时，机械能减少量为：△E_p=mgLsin30°=1×$10×2.7×\frac{1}{2}$=13.5J
滑块在斜面上所受摩擦力：f=μmgcos30°
设滑块在斜面上通过的总路程为S，则：△E_p=fS
联立三式并代入数据得：S=5.4m
答：（1）质点第1次经过B点时对圆弧轨道的压力为30N；
（2）质点从A到D的过程中重力势能的变化量为-9J；
（3）在斜面上通过的总路程为5.4m．

点评 本题考查学生对单个物体多过程问题的分析．涉及到牛顿运动定律在圆周运动中的应用、动能定理和机械能守恒定律的应用、变力做功的计算方法．