Question

如图9-8-5所示，轻弹簧（劲度系数为k）的下端固定在地面上，其上端和一质量为M的木板B相连接，在木板B上又放有一个质量为m的物块P.当系统上下振动时，欲使P、B始终不分离，则轻弹簧的最大压缩量为多大？

图9-8-5

   

Answer 1

解析：方法一：P和B整体的上下振动是简谐运动，回复力由总重力和弹簧弹力的合力提供，故有F_合=kx，其中x为偏离平衡位置的位移.据牛顿第二定律有系统受到的合外力产生了系统的加速度a，即F_合=（M+m）a，由以上两式可得kx=(M+m)a.而物体P做简谐运动的回复力由其所受重力和B对P的支持力的合力提供，当P和B在平衡位置下方时，加速度方向向上，P处于超重状态，P不可能和B分离，因此P和B将分离的位置一定在上方最大位移处，此时P受B的支持力为零，对P有mg=ma_m，得a_m=g，对系统分析可知此时弹簧弹力为零，即振动上方最大位移处弹簧恰为原长.由以上各式可得x_m=A=，由位移的对称性可知弹簧压缩最大时振子位移向下达到最大，x_m=，故弹簧的最大压缩量为Δx_m=2A=.

    方法二：系统简谐运动的回复力由总重力和弹簧弹力的合力提供，而P做简谐运动的回复力由其所受重力和B对P的支持力的合力提供，分析得到P和B将分离的位置一定在上方最大位移处，此时有mg=ma_m，得a_m=g.由加速度的对称性可知弹簧压缩时最大加速度也为a_m=g，所以轻弹簧的最大压缩量应满足关系式kΔx_m-(M+m)g=(M+m)a_m，即得Δx_m=.

    答案：