Question

为了探索宇宙的无穷奥秘，人们进行了不懈努力，假设我们发射了一颗绕X行星的卫星，不停地向地球发射无线电波，而地球上的接收装置与卫星绕X行星的轨道平面在同一平面内，接收装置具有测量向着该装置和背离该装置的速度的功能，结果发现：①接收到的信号时有时无，t₁时间内有信号，接着t₂时间内无信号，周而复始，不断重复，用t₁≈t₂=t₀；②接收到的速度信号随时间的变化关系如图所示（图中v₀为已知，符号为正的表示指向接收器的速度，符号为负表示是背离接收器的速度）．试根据以上特点求：
（1）该行星的平均密度；
（2）该行星的质量；
（3）该行星的第一宇宙速度和表面的重力加速度．
（注：所有答案均用相关常量和t₀、v₀表示）

Answer 1

分析：根据万有引力提供向心力表示出中心体的质量，再求出密度．
根据圆周运动知识求出行星的半径，再求出其质量．
第一宇宙速度是近地卫星的运行速度，根据万有引力等于重力求出重力加速度．

解答：解：由题意知道，T=2t₀，是近X行星的卫星的周期，运行速度为v₀．
（1）根据万有引力提供向心力得

GMm

r2

=

m?4π2r

T2

  r=R
M=

4π2r3

GT2

 
ρ=

M

V

=

3π

4 Gt 2 0

（2）根据圆周运动知识得
T=

2πR

v0

R=

t0v0

π

M=ρ?

4

3

πR³=

t0v 3 0

Gπ

（3）第一宇宙速度是近地卫星的运行速度，所以第一宇宙速度是v₀ ．
根据万有引力等于重力得
重力加速度g=

GM

R2

=

πv0

t0

．
答：（1）该行星的平均密度是

3π

4 Gt 2 0

；
（2）该行星的质量是

t0v 3 0

Gπ

；
（3）该行星的第一宇宙速度和表面的重力加速度是

πv0

t0

．

点评：解决该题关键要清楚图象的意义和获得的信息，再结合万有引力定律的知识求解．