Question

【题目】如图所示，空间中有一水平面，其右侧为一垂直于水平面的墙面．现使空间内具有一匀强磁场，大小为，方向如图所示，已知一质量为，带电量为的小球，在距墙左处的水平面上以速度开始向右水平运动，设球与水平面动摩擦因数为，且与墙的碰撞为弹性的．试问：

（1）要使小球曾经运动到平面以上，且最后以垂直于墙面的速度与墙相碰，以上数据应满足的条件．

（2）设小球可以运动到平面以上，并且为（1）中所满足条件的次小值，而且由小球运动到静止用时为．小球最终停在何处？

（3）若小球始终紧贴水平面运动，且最终静止于原出发点，则从出发到静止耗时为多少？

Answer 1

【答案】(1)见解析 (2) (3)

【解析】

（1）若要小球可以运动到平面以上，则首先有，接下来，我们将分解成和，其中，则．于是小球的运动分解成水平向右的速度为的直线运动及速率为的逆时针方向的匀速圆周运动的合成，且易知此圆周运动中，有

，．

当小球速度垂直于墙时，此时，现讨论如下：

①，即，则此种情况下，小球运动的轨迹下方拐点处速度向右，上方拐点处速度向左，当小球垂直撞墙时，必有，则

②，即，则此种情况下，小球运动的轨迹上、下方拐点处的速度都向右，则时，小球均可垂直撞墙，故有

另外，当时，我们注意到小球轨迹为如图所示，要使小球在处于时碰撞，则拐点面必须在面左方，即是说，对于任一，要求有

其中，为圆周运动半径，，对于上式右边求最值，易知，即合速度竖直向上时，右边最大，从而应满足

化简得

综上所述．数据应满足条件为（1*）或（2*）如下

1* ．

2* ．

（2）当满足（1）中条件1*时，我们知，，

故由题意，碰后返回所用时间为．

而这段时间内，有支持力，且满足．

从而，直到小球停止时，总冲量

．

其中即小球碰后所有距离，由动量定理，则．

故而得：．

同理，当满足（1）中条件2*时，得．

（3）由题意，此时，对于碰墙前时刻，有．

故而，．

与（2）同理可知，碰墙速度满足．

而对于碰撞后到静止，同理有，故而．

所以总时间．