Question

17．某球形天梯“地轴”自转，A、B分别为球体表面上两点，A在“北极”，B在“赤道”，C为赤道上某一高为h的山峰，现将质量同为m的两小球分别放在A、B两处，测得重力大小为G₁、G₂，已知万有引力常量为G，星球球体半径为R，以下判断正确的是（　　）

• A． 天体质量为$\frac{{G}_{1}{R}^{2}}{Gm}$
• B． 天体第一宇宙速度为$\sqrt{\frac{{G}_{1}R}{m}}$
• C． 小球在山峰上C处重力大小G₃=$\frac{{G}_{1}{R}^{2}}{（R+h）^{2}}$-$\frac{（{G}_{1}-{G}_{2}）}{R}$（R+h）
• D． 若在山峰上抛出一个小球，使其不落回地面，速度至少需要达到$\sqrt{\frac{{G}_{1}R}{hm}}$

Answer 1

分析 由在北极处重力等于万有引力，求得球体的质量；由万有引力提供向心力求得第一宇宙速度；小球在山峰上C处重力与向心力的合力为万有引力．

解答 解：A、北极处重力等于万有引力，则${G}_{1}=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$中，得M=$\frac{{G}_{1}{R}^{2}}{Gm}$，则A正确
　　B、万有引力提供向心力得第一宇宙速度为：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{\frac{{G}_{1}R}{m}}$，则B正确
   C、山峰上C处重力为：G₃=$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}-m（R+h）{ω}^{2}$，
              而在B处：G₁-G₂=mRω²
                  又：M=$\frac{{G}_{1}{R}^{2}}{Gm}$ 
    由以上各式可得：G₃=$\frac{{G}_{1}{R}^{2}}{（R+h）^{2}}$-$\frac{（{G}_{1}-{G}_{2}）}{R}$（R+h），则C正确
  D、抛出一个小球，使其不落回地面，速度至少需要达到v=$\sqrt{\frac{GM}{（R+h）}}$=$\sqrt{\frac{{G}_{1}{R}^{2}}{m（R+h）}}$，则D错误
故选：ABC

点评 考查万有引力与重力的关系，明确定在两极处万有引力等于重力，其它位置万有引力为重力与向心力的合力．