Question

20．如图示，劲度系数为k的轻质弹簧一端与墙固定，另一端与倾角为θ的斜面体小车连接，小车置于光滑水平面上，在小车上叠放一个物体，已知小车质量为M，物体质量为m，小车位于O点时，整个系统处于平衡状态．现将小车从O点拉到B点，令OB=b，无初速度释放后，小车在水平面B、C间来回运动，物体和小车之间始终没有相对运动．求：
（1）小车运动到B点时物体m所受到的摩擦力大小和方向．
（2）b的大小必须满足什么条件，才能使小车和物体在一起运动过程中，在某一位置时，物体和小车之间的摩擦力为零．

Answer 1

分析 （1）小车运动到B点时，先对M和m整体进行受力分析后，根据牛顿第二定律求解出加速度，然后对m，受力分析后根据牛顿第二定律列式求解摩擦力；
（2）在某一位置时，物体和小车之间的摩擦力为零，此时m受重力和支持力，合力向右，故一定是在平衡位置左侧；然后分别对整体和m根据牛顿第二定律列式求解即可．

解答 解：（1）小车运动到B点时，取M、m和弹簧组成的系统为研究对象，由牛顿第二定律得：
   kb=（M+m）a
所以 a=$\frac{kb}{M+m}$；
取m为研究对象，受重力、支持力和摩擦力（沿斜面向上 ），由牛顿第二定律得
在沿斜面方向有：f-mgsinθ=macosθ；
解得 f=mgsinθ+$\frac{kbmcosθ}{M+m}$；
（2）当物体和小车之间的摩擦力的零时，小车的加速度变为a'，小车距O点距离为 b'，
取m为研究对象，有：mgsinθ=ma'cosθ
取M、m和弹簧组成的系统为研究对象，有：kb'=（M+m）a'
以上述两式联立解得：b'=$\frac{（M+m）gtanθ}{k}$；
由于简谐运动具有对称性，故b=b'=$\frac{（M+m）gtanθ}{k}$；
所以当b的大小大于或等于$\frac{（M+m）gtanθ}{k}$时，才能使小车和物体在一起运动过程中，在某一位置时，物体和小车之间的摩擦力为零．
答：（1）小车运动到B点时物体m所受到的摩擦力大小为mgsinθ+$\frac{kbmcosθ}{M+m}$，方向为沿斜面向上；
（2）当b的大小大于或等于$\frac{（M+m）gtanθ}{k}$时，才能使小车和物体在一起运动过程中，在某一位置时，物体和小车之间的摩擦力为零．

点评 本题关键先根据整体法求解加速度，然后再隔离m受力分析并根据牛顿第二定律列式求解，要灵活选择研究对象，也可以就用隔离法研究．