Question

5．如图所示，粗糙水平面上有一质量为m=1kg的木板A，其上下表面与水平面平行，上表面左侧部分粗糙，其余部分光滑（涂有绝缘光滑涂层）．在A的左端有一质量也为m的带正电物体B（视为质点），带电量q=8×10^-2C，开始时A和B均处于静止状态．某时刻在水平方向施加水平向右的匀强电场，场强E=100N/C，A、B开始运动，2s后B物体滑到木板光滑部分．已知A与水平面间动摩擦因数μ₁=0.2，B与A左侧部分间的动摩擦因数μ₂=0.5，木板A的长度L=21.5m，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．取重力加速度大小g=10m/s²．求：

（1）木板A上表面粗糙部分长度；
（2）B在A上总的运动时间．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律分别求出A、B匀加速运动的加速度，再由位移公式求各自的位移，两个位移之差等于粗糙部分的长度．
（2）由速度时间公式求出2s末两个物体的速度．由牛顿第二定律求B滑上光滑段时两个物体的加速度，再由运动学公式求解时间．

解答 解：（1）设前2s内B物体的加速度为a_B1，位移为x_B1．A物体的加速度为a_A1，位移为x_A1．由牛顿第二定律得：
a_B1=$\frac{qE-{μ}_{2}mg}{m}$，
代入数据解得：a_B1=3m/s²；
则有：x_B1=$\frac{1}{2}{a}_{B1}{t}^{2}$，
代入数据解得：x_B1=6m；
a_A1=$\frac{{μ}_{2}mg-2{μ}_{1}mg}{m}$=1m/s²；
则有：x_A1=$\frac{1}{2}{a}_{A1}{t}^{2}$=2m
所以粗糙部分的长度为：△x₁=x_B1-x_A1=4m
（2）前2s末B物体的速度为：v_B1=a_B1t=6m/s
前2s末A物体的速度为：v_A1=a_A1t=2m/s
滑到光滑段后，B物体的加速度为：a_B2=$\frac{qE}{m}$=8m/s²；
A物体的加速度为为：a_A2=-$\frac{2{μ}_{1}mg}{m}$=-4m/s²；
A物体停下所用时间额：t₁=-$\frac{{v}_{A1}}{{a}_{A2}}$=0.5s
A物体减速位移为：x_A2=v_A1t₁+$\frac{1}{2}{a}_{A2}{t}_{1}^{2}$=0.5m
B物体在t₁时间内位移为：x_B2=v_B1t₁+$\frac{1}{2}{a}_{B2}{t}_{1}^{2}$=4m
B物体t₁时间末速度为：v_B2=v_B1+a_B2t₁=10m/s
t₁时间内B相对于A的位移为：△x₂=x_B2-x_A2=4-0.5=3.5m
A物体停下时，B离A右侧末端位移为：△x=L-△x₁-△x₂=14m
设再经时间t₂，B脱离A，由运动学公式得：
△x=v_B2t₂+$\frac{1}{2}{a}_{B2}{t}_{2}^{2}$
代入数据解得：t₂=1s
因此B在A运动的总时间为：t=2+t₁+t₂=3.5s
答：（1）木板A上表面粗糙部分长度是4m；
（2）B在A上总的运动时间是1s．

点评 本题是复杂的力学综合题，要边计算边分析物体的运动情况，要抓住各个过程之间的联系，如速度关系、位移关系，运用牛顿第二定律和运动学公式结合研究．