Question

(16分)如图所示，让一可视为质点的小球从光滑曲面轨道上的A点无初速滑下，运动到轨道最低点B后，进入半径为R的光滑竖直圆轨道，并恰好通过轨道最高点C，离开圆轨道后继续在光滑平直轨道上运动到D点后抛出，最终撞击到搁在轨道末端点和水平地面之间的木板上，已知轨道末端点距离水平地面的高度为H＝0.8m，木板与水平面间的夹角为θ＝37°，小球质量为m＝0.1kg，A点距离轨道末端竖直高度为h＝0.2m，不计空气阻力。(取g＝10m/s²，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)

⑴求圆轨道半径R的大小；
⑵求小球从轨道末端点冲出后，第一次撞击木板时的位置距离木板上端的竖直高度有多大；
⑶若改变木板的长度，并使木板两端始终与平台和水平面相接，试通过计算推导小球第一次撞击木板时的动能随木板倾角θ变化的关系式，并在图中作出E_k-(tanθ)²图象。

Answer 1

⑴R＝0.08m；⑵y＝0.45m；⑶E_k＝0.8tan²θ＋0.2，其中0＜tan²θ≤1，

试题分析：⑴小球恰好能通过C点，因此，在C点，根据牛顿第二定律和向心力公式有：mg＝
小球由A点运动至C点的过程中，只有重力做功，根据动能定理有：mg(h－2R)＝－0
联立以上两式解得：R＝＝0.08m
⑵小球从A点运动至D点的过程中，只有重力做功，根据动能定理有：mgh＝－0
小球离开D点后开始做平抛运动，设经时间t落到木板上，根据平抛运动规律可知，在水平方向上有：x＝v_Dt
在竖直方向上有：y＝
根据图中几何关系有：tanθ＝
联立以上各式解得：y＝4htan²θ＝0.45m，即小球从轨道末端点冲出后，第一次撞击木板时的位置距离木板上端的竖直高度为：y＝0.45m
⑶小球从离开D点到第一次撞击木板的过程中，根据动能定理有：mgy＝E_k－
解得：E_k＝mgy＋
由⑵中求解可知：E_k＝mgh(4tan²θ＋1)＝0.8tan²θ＋0.2
显然，当小球落地时动能最大，为：E_km＝mg(h＋H)＝1J
所以有：0＜tan²θ≤1，其图象如下图所示。