Question

（2013?常德模拟）如图所示，在xOy平面的第I象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E；第Ⅱ象限内有半径为R的圆分别与x轴、y轴相切于P、Q 两点，圆内存在垂直于xOy平面向外的匀强磁场．一带正电的粒子（重力不计）以速率v₀从P点射入磁场后恰好垂直y轴进入电场，最后从M（

3

R，0）点射出电场，出射方向与x轴正向夹角为α=60⁰，求：
（1）带电粒子的比荷；
（2）磁感应强度的大小B；
（3）粒子从射入磁场到射出电场的时间．

Answer 1

分析：（1）粒子垂直于电场进入第一象限，粒子做类平抛运动，由到达M的速度方向可利用速度的合成与分解得知该点y方向的速度．结合牛顿第二定律求得粒子的比荷；
（2）根据运动学的公式，求出粒子进入电场时的位置，画出粒子运动的轨迹，根据图象中的几何关系求出粒子运动的半径，根据半径公式R=

mv

qB

求出磁感应强度；
（3）粒子在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，利用洛伦兹力提供向心力的公式，求出在磁场中运动的时间．利用平抛运动的规律求出粒子在电场中运动的时间．总时间是各段时间的和．

解答：解：（1）粒子垂直于电场进入第一象限，粒子做类平抛运动，设粒子在电场中运动的时间为t₃，在x方向上：

3

R=v0t3，得：t3=

3 R

v0

y方向：vy=at3=

qE

m

?t3，
又由于：

vy

v0

=tanα=

3

联立以上3个公式解得：

q

m

=

v 2 0

ER

（2）沿电场线方向粒子的位移：y=

1

2

a

t

2 3

=

1

2

?

qE

m

?

t

2 3

=

1

2

?

v 2 0

ER

?E?

3R2

v 2 0

=

3R

2

所以粒子进入电场时的坐标N（0，

3R

2

），所以画出粒子运动的轨迹如图：
设粒子做圆周运动的半径为r，则r+rcosθ=

3R

2

，rsinθ=

R

2

解以上两个方程得：r=

5

6

R
洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，得：qv0B=

m v 2 0

r

所以：B=

mv0

qr

=

ER

v 2 0

?v0?

5

6R

=

5E

6v0

（3）粒子在磁场中运动的周期：T=

2πr

v0

=

5πR

3v0

设粒子在磁场中运动的时间为t₁，在磁场和电场之间运动的时间为t₂，

t1

T

=

β

360°

，β=π-arcsin

R 2

r

=π-arcsin

3

5

=180°-37°=153°
所以：t1=

153°

360°

?

5πR

3v0

=

17πR

24v0

粒子在磁场和电场之间运动的时间：t2=

R 2

v0

=

R

2v0

粒子从射入磁场到射出电场的时间：t=t₁+t₂+t₃=

17πR

24v0

+

R

2v0

+

3 R

v0

答：（1）带电粒子的比荷

q

m

=

v 2 0

ER

；
（2）磁感应强度的大小B=

5E

6v0

；
（3）粒子从射入磁场到射出电场的时间t=

17πR

24v0

+

R

2v0

+

3 R

v0

．

点评：粒子在电场中运动偏转时，常用能量的观点来解决问题，有时也要运用运动的合成与分解．粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心、半径及运动时间的确定也是本题的一个考查重点，要正确画出粒子运动的轨迹图，能熟练的运用几何知识解决物理问题．