Question

如图所示，两根足够长且平行的光滑金属导轨与水平面成53°夹角固定放置，导轨间连接一阻值为6Ω的电阻R，导轨电阻忽略不计．在两平行虚线m、n间有一与导轨所在平面垂直、磁感应强度为B的匀强磁场．导体棒a的质量为m_a=0.4kg，电阻R_a=3Ω；导体棒b的质量为m_b=0.1kg，电阻R_b=6Ω；它们分别垂直导轨放置并始终与导轨接触良好．a、b从开始相距L₀=0.5m处同时将它们由静止开始释放，运动过程中它们都能匀速穿过磁场区域，当b刚穿出磁场时，a正好进入磁场（g取10m/s²，不计a、b之间电流的相互作用）．求：
（1）当a、b分别穿越磁场的过程中，通过R的电荷量之比；
（2）在穿越磁场的过程中，a、b两导体棒匀速运动的速度大小之比；
（3）磁场区域沿导轨方向的宽度d为多大；
（4）在整个过程中，产生的总焦耳热．

Answer 1

分析：（1）导体棒进入磁场切割磁感线，从而产生感应电动势，电路出现感应电流，则由法拉第电磁感应定律与闭合电路欧姆定律，可推出通过导体棒的电量表达式：q总=

△Φ

R总

．
（2）两棒匀速穿越磁场的过程中，安培力等于重力的分力．a棒匀速通过时，a棒相当于电源，求出总电阻，b棒匀速通过时，b棒相当于电源，求出总电阻．根据BIL=

B2L2v

R总

=mgsinθ，求出速度比．
（3）当b棒到达m时，两棒的速度相等，设b棒通过磁场的时间为t，则a棒到达m的速度v_a=v_b+gsin53°t，又d=v_bt，根据两棒匀速运动的速度关系，求出两速度，再根据

v

2 a

-

v

2 b

=2gsin53°L0，可求出m点到n点的距离．
（4）在a穿越磁场的过程中，因a棒切割磁感线产生感应电流，可求出对应的安培力做功，同理b棒切割磁感线，产生感应电流，从而求出安培力做功，则两棒整个过程中，产生的总焦耳热为两者之和．

解答：解：（1）由q=

.

I

△t； 
闭合电路欧姆定律：

.

I

=

. E

R总

； 
法拉第电磁感应定律：

.

E

=

△Φ

△t

得：q总=

△Φ

R总

在b穿越磁场的过程中，b是电源，a与R是外电路，电路的总电阻R_总1=8Ω，
通过R的电荷量为qRb=

1

3

q总b=

1

3

?

△Φ

R总1

同理a棒在磁场中匀速运动时R_总2=6Ω，
通过R的电荷量为qRa=

1

2

q总a=

1

2

?

△Φ

R总2

可得：q_Ra：q_Rb=2：1
（2）设b在磁场中匀速运动的速度大小为v_b，则b中的电流Ib=

BLvb

R总1

由以上两式得：

B2L2vb

R总1

=mbgsin53°
同理a棒在磁场中匀速运动时

B2L2va

R总2

=magsin53°
可得v_a：v_b=3：1
（3）设a、b穿越磁场的过程中的速度分别为v_a和v_b，
由题意得：v_a=v_b+gsin53°t
   匀速直线运动，则有d=v_bt
因为

v

2 a

-

v

2 b

=2gsin53°L0
解得：d=0.25m
（4）安培力大小F_安a=m_agsin53°，
安培力做功：W_a=m_agdsin53°=0.8J
同理W_b=m_bgdsin53°=0.2J  
在整个过程中，电路中共产生多少焦耳热Q=W_a+W_b=1J
答：（1）当a、b分别穿越磁场的过程中，通过R的电荷量之比为2：1；
（2）在穿越磁场的过程中，a、b两导体棒匀速运动的速度大小之比为3：1；
（3）磁场区域沿导轨方向的宽度d为0.25m；
（4）在整个过程中，产生的总焦耳热1J．

点评：解决本题的关键能够正确地对a、b棒进行受力分析，根据受力情况判断物体的运动情况．以及知道在匀速运动时，安培力等于重力沿斜面方向的分力．