Question

15．如图所示，小球沿光滑的水平面冲上一个光滑的半圆形轨道，已知轨道的半径为R，小球到达轨道的最高点时对轨道的压力大小恰好等于小球的重力．请求出：
（1）小球到达轨道最高点时的速度为多大？
（2）小球落地时距离A点多远？
（3）落地时速度多大？

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律，结合最高点的压力大小，求出小球到达轨道最高点时的速度大小．
（2）根据高度求出平抛运动的时间，结合最高点的速度和时间求出小球落地时距离A点多远．
（3）根据速度时间公式求出落地时竖直分速度，结合平行四边形定则求出落地的速度．

解答 解：（1）在最高点，根据牛顿第二定律得，mg+${F}_{N}=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，
因为mg=F_N1，解得${v}_{1}=\sqrt{2gR}$．
（2）根据2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，平抛运动的时间t=$\sqrt{\frac{4R}{g}}$，
则小球落地时距离A点距离x=${v}_{1}t=\sqrt{2gR}×\sqrt{\frac{4R}{g}}=2\sqrt{2}R$．
（3）小球落地时竖直分速度${v}_{y}=gt=g×\sqrt{\frac{4R}{g}}=\sqrt{4gR}$，
根据平行四边形定则知，落地的速度v=$\sqrt{{{v}_{1}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}$=$\sqrt{2gR+4gR}$=$\sqrt{6gR}$．
答：（1）小球到达轨道最高点时的速度为$\sqrt{2gR}$；
（2）小球落地时距离A点$2\sqrt{2}R$；
（3）落地时速度为$\sqrt{6gR}$．

点评 本题考查了平抛运动、圆周运动与牛顿定律和运动学公式的综合运用，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，以及圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．